একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ :- কষে দেখি

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

কষে দেখি - ১.৩

Q১. দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যার একটি $x$ ও অপরটি $\left ( x+3 \right )$

প্রশ্নানুযায়ী,

$x^{2}+\left ( x+3 \right )^{2}=117$

বা, $x^{2}+x^{2}+2.x.3+3^{2}=117$

বা, $2x^{2}+6x+9=117$

বা, $2x^{2}+6x+9-117=0$

বা, $2x^{2}+6x-108=0$

বা, $2\left ( x^{2}+3x-54 \right )=0$

বা, $\left ( x^{2}+3x-54 \right )=0$

বা, $x^{2}+9x-6x-54=0$

বা, $x\left ( x+9 \right )-6\left ( x+9 \right )=0$

বা, $\left ( x+9 \right )\left ( x-6 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x+9=0$

$\therefore x=-9$

অথবা,

$x-6=0$

$x=6$

$\because$ সংখ্যা দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা, তাই $x=-9$ হতে পারে না।

∴ $x=6$ ও $\left ( x+3 \right )\Rightarrow 6+3=9$

উত্তরঃ নির্ণেয় ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা দুটি হল 6 ও 9 ।

Q২. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুন অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা $x$ মিটার।

∴ ত্রিভুজটির ভূমি $\left ( 2x+18 \right )$ মিটার।

আমরা জানি,

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × ভূমি × উচ্চতা

বা, $360=\frac{1}{2}\times \left ( 2x+18 \right )\times x$

বা, $360=\frac{1}{2}\times 2x\times x+\frac{1}{2}\times 18\times x$

বা, $360=x^{2}+9x$

বা, $x^{2}+9x-360=0$

বা, $x^{2}+24x-15x-360=0$

বা, $x\left ( x+24 \right )-15\left ( x+24 \right )=0$

বা, $\left ( x+24 \right )\left ( x-15 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x+24=0$

$\therefore x=-24$

অথবা,

$x-15=0$

$\therefore x=15$

$\because$ ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক হয় না, তাই $x$ এর মান $-24$ হতে পারে না।

সুতরাং, $x=15$

উত্তরঃ নির্ণেয় ত্রিভুজটির উচ্চতা 15 মিটার।

Q৩. যদি একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয়, তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যাটি হল x

প্রশ্নানুসারে,

$2x^{2}-5x=3$

বা, $2x^{2}-5x-3=0$

বা, $2x^{2}-6x+x-3=0$

বা, $2x\left ( x-3 \right )+1\left (x-3 \right )=0$

বা, $\left ( x-3 \right )\left ( 2x+1 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x-3=0$

$\therefore x=3$

অথবা,

$2x+1=0$

বা, $2x=-1$

$\therefore x=-\frac{1}{2}$

$\because$ সংখ্যাটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা, তাই $x=-\frac{1}{2}$ হতে পারে না।

অর্থাৎ,

$x=3$

উত্তরঃ নির্ণেয় ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যাটি হল 3.

Q৪. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি.; একস্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘন্টা সময় কম লাগে। মোটর গাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, মোটর গাড়ির গতিবেগ $x$ কিমি/ঘন্টা।

∴ জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় $\left ( x+5 \right )$ কিমি ।

আমরা জানি,

সময় = (অতিক্রান্ত দূরত্ব / গতিবেগ)

∴ 200 কিমি যেতে মোটর গাড়ির সময় লাগে $=\frac{200}{x}$ ঘন্টা

ও জিপ গাড়ির সময় লাগে $=\frac{200}{\left ( x+5 \right )}$ ঘন্টা

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}=2$

বা, $\frac{200\left ( x+5 \right )-200x}{x\left ( x+5 \right )}=2$

বা, $\frac{200x+1000-200x}{x^{2}+5x}=2$

বা, $\frac{1000}{x^{2}+5x}=2$

বা, $1000=2\left ( x^{2}+5x \right )$

বা, $x^{2}+5x=\frac{1000}{2}$

বা, $x^{2}+5x-500=0$

বা, $x^{2}+25x-20x-500=0$

বা, $x\left ( x+25 \right )-20\left ( x+25 \right )=0$

বা, $\left ( x+25 \right )\left ( x-20 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x+25=0$

$\therefore x=-25$

অথবা,

$x-20=0$

$\therefore x=20$

$\because$ গাড়ির গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না,

$\therefore x\neq -25$

সুতরাং, $x=20$

উত্তরঃ মোটর গাড়ির গতিবেগ 20 কিমি/ঘন্টা।

Q৫. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য $x$ মিটার ও প্রস্থ $y$ মিটার।

প্রদত্ত,

আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল = 2000 বর্গমিটার ও আয়তাকার জমির পরিসীমা = 180 মিটার।

আমরা জানি,

আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$x\times y=2000$

বা, $xy=2000$ ……(i)

আবার,

আয়তাকার জমির পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$2\left ( x+y \right )=180$

বা, $x+y=\frac{180}{2}=90$

বা, $x=\left ( 90-y \right )$ ……. (ii)

এখন, (ii) নং সমীকরণ থেকেx এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\left ( 90-y \right )y=2000$

বা, $90y-90y^{2}=2000$

বা, $y^{2}-90y+2000=0$

বা, $y^{2}-50y-40y+2000=0$

বা, $y\left ( y-50 \right )-40\left ( y-50 \right )=0$

বা, $\left ( y-50 \right )\left ( y-40 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$y-50=0$

$\therefore y=50$

আবার,

$y-40=0$

$\therefore y=40$

$y=50$ হলে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $=\frac{2000}{50}=40$ মিটার।

কিন্তু, যেহেতু আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য সর্বদা প্রস্থ অপেক্ষা বড়ো হয়,

তাই, $y\neq 50$

∴ প্রস্থ $\left ( y \right )=40$ মিটার।

∴ দৈর্ঘ্য $\left ( x \right )=\left ( 90-40 \right )=50$ মিটার।

উত্তরঃ অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য 50 মিটার ও প্রস্থ 40 মিটার।

Q৬. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক $x$ ও দশক ঘরের অঙ্ক $\left ( x-3 \right )$

∴ সংখ্যাটি হল $=10\times \left ( x-3 \right )+x$

প্রশ্নানুসারে,

$\left [ 10\left ( x-3 \right )+x \right ]-\left [ x\left ( x-3 \right ) \right ]=15$

বা, $10x-30+x-x^{2}+3x=15$

বা, $-x^{2}+14x-30-15=0$

বা, $x^{2}-14x+45=0$

বা, $x^{2}-9x-5x+45=0$

বা, $x\left ( x-9 \right )-5\left ( x-9 \right )=0$

বা, $\left ( x-9 \right )\left ( x-5 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-9 \right )=0$

$\therefore x=9$

আবার,

$\left ( x-5 \right )=0$

$\therefore x=5$

উত্তরঃ নির্ণেয় সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক 9 অথবা 5.

Q৭. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি $11\frac{1}{9}$ মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নল দুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সমযে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, শুধুমাত্র প্রথম নল দিয়ে চৌবাচ্চাটিকে $x$ মিনিটে ভর্তি করা যায়।

∴ প্রশানুসারে, শুধুমাত্র দ্বিতীয় নল দিয়ে চৌবাচ্চাটিকে $\left ( x+5 \right )$ মিনিটে ভর্তি করা যাবে।

প্রথম নল দিয়ে $x$ মিনিটে চৌবাচ্চার 1 অংশ ভর্তি হয়।

সুতরাং, প্রথম নল দিয়ে 1 মিনিটে চৌবাচ্চার $\frac{1}{x}$ অংশ ভর্তি হয়।

একইভাবে,

দ্বিতীয় নল দিয়ে $\left ( x+5 \right )$ মিনিটে চৌবাচ্চার 1 অংশ ভর্তি হয়।

সুতরাং, দ্বিতীয় নল দিয়ে 1 মিনিটে চৌবাচ্চার $\frac{1}{\left (x+5 \right )}$ অংশ ভর্তি হয়।

এখন, দুটি নল একসাথে খোলা থাকলে, নল দুটি দিয়ে 1 মিনিটে চৌবাচ্চার $\left [\frac{1}{x}+\frac{1}{\left (x+5 \right )} \right ]$ অংশ ভর্তি হয়।

আবার,

প্রশানুসারে, নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটির $11\frac{1}{9}$ মিনিটে অর্থাৎ, $\frac{100}{9}$ মিনিটে 1 অংশ পূর্ণ হয়।

সুতরাং, নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি 1 মিনিটে $\frac{1}{\left ( \frac{100}{9} \right )}$ অংশ অর্থাৎ, $\frac{9}{100}$ অংশ পূর্ণ হয়।

প্রশ্নানুসারে,

$\left [\frac{1}{x}+\frac{1}{\left (x+5 \right )} \right ]=\frac{9}{100}$

বা, $\frac{\left ( x+5 \right )+x}{x\left ( x+5 \right )}=\frac{9}{100}$

বা, $\frac{x+5+x}{x^{2}+5x}=\frac{9}{100}$

বা, $\frac{2x+5}{x^{2}+5x}=\frac{9}{100}$

বা, $9\left ( x^{2}+5x \right )=100\left ( 2x+5 \right )$

বা, $9x^{2}+45x=200x+500$

বা, $9x^{2}+45x-200x-500=0$

বা, $9x^{2}-155x-500=0$

বা, $9x^{2}-\left ( 180-25 \right )x-500=0$

বা, $9x^{2}-180x+25x-500=0$

বা, $9x\left ( x-20 \right )+25\left ( x-20 \right )=0$

বা, $\left ( x-20 \right )\left ( 9x+25 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-20 \right )=0$

$\therefore x=20$

আবার,

$\left ( 9x+25 \right )=0$

$\therefore x=-\frac{25}{9}$

যেহেতু, সময় $\left ( x \right )$ ঋণাত্মক হতে পারে না।

$\therefore x\neq -\frac{25}{9}$

সুতরাং, $x=20$ মিনিট।

$\therefore \left ( x+5 \right )\Rightarrow 20+5=25$ মিনিট।

উত্তরঃ নির্ণেয় প্রথম নল দিয়ে 20মিনিটে এবং দ্বিতীয় নল দিয়ে 25মিনিটে চৌবাচ্চাটিকে ভর্তি করা যায়।

Q৮. পর্ণা ও পীয়ুষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীয়ুষের তার চেযে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, পর্ণা একা কাজটি সম্পন্ন করবে $x$ দিনে

ও পীয়ুষ একা কাজটি সম্পন্ন করবে $\left ( x+6 \right )$ দিনে।

পর্ণা একা 1 দিনে কাজ সম্পন্ন করে $=\frac{1}{x}$ অংশ

ও পীয়ুষ একা 1 দিনে কাজ সম্পন্ন করে $=\frac{1}{x+6}$ অংশ

∴ দুজনে একত্রে 1 দিনে কাজ সম্পন্ন করে $=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )$ অংশ

একত্রে $\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )$ অংশ কাজ সম্পন্ন করে 1 দিনে

∴ একত্রে 1 অংশ কাজ সম্পন্ন করে $=\frac{1}{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )}$ দিনে

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{1}{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} \right )}=4$

বা, $\frac{1}{\left [\frac{x+6+x}{x\left ( x+6 \right )} \right ]}=4$

বা, $\frac{1}{\left ( \frac{2x+6}{x^{2}+6x} \right )}=4$

বা, $\frac{x^{2}+6x}{2x+6}=4$

বা, $x^{2}+6x=4\left ( 2x+6 \right )$

বা, $x^{2}+6x=8x+24$

বা, $x^{2}+6x-8x-24=0$

বা, $x^{2}-2x-24=0$

বা, $x^{2}-6x+4x-24=0$

বা, $x\left ( x-6 \right )+4\left ( x-6 \right )=0$

বা, $\left ( x-6 \right )\left ( x+4 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-6 \right )=0$

$\therefore x=6$

আবার,

$\left ( x+4 \right )=0$

$\therefore x=-4$

$\because$ সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x\neq 4$

$\therefore x=6$

উত্তরঃ পর্ণা একাকী 6 দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে।

Q৯. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল $x$ টাকা।

এখন প্রতি ডজনে 6 টাকা কমায় কলমের বর্তমান মূল্য $=\left ( x-6 \right )$ টাকা।

পূর্বে 30 টাকায় কলম পাওয়া যেত $\frac{30}{x}$ ডজন $=\frac{30\times 12}{x}$ টি [ 1 ডজন =12 টি ]

এখন, 30 টাকায় কলম পাওয়া যায় $=\frac{30\times 12}{x-6}$ টি

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{30\times 12}{x-6}-\frac{30\times 12}{x}=3$

বা, $360\left ( \frac{1}{x-6}-\frac{1}{x} \right )=3$

বা, $\frac{x-\left ( x-6 \right )}{x\left ( x-6 \right )}=\frac{3}{360}$

বা, $\frac{x-x+6}{x^{2}-6x}=\frac{1}{120}$

বা, $\frac{6}{x^{2}-6x}=\frac{1}{120}$

বা, $x^{2}-6x=6\times 120=720$

বা, $x^{2}-6x-720=0$

বা, $x^{2}-30x+24x-720=0$

বা, $x\left ( x-30 \right )+24\left ( x-30 \right )=0$

বা, $\left ( x-30 \right )\left ( x+24 \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-30 \right )=0$

$\therefore x=30$

আবার,

$\left ( x+24 \right )=0$

$\therefore x=-24$

কলমের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x\neq -24$

$\therefore x=30$

উত্তরঃ কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল 30 টাকা।

Q১০. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা

(a) একটি

(b) দুটি

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (b) দুটি

Q১০. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(ii) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ দ্বিঘাত সমীকরণ হলে,

(a) $b\neq 0$

(b) $c\neq 0$

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (c) ${\color{Blue} a\neq 0}$

Q১০. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত :

(a) 1

(b) 2

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (b) 2

Q১০. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(iv) $4\left( 5{{x}^{2}}-7x+2 \right)=5\text{ }\left( 4{{x}^{2}}-6x+3 \right)$ সমীকরণটি :

(a) রৈখিক

(b) দ্বিঘাত

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (a) রৈখিক

সমাধানঃ

$4\left ( 5x^{2}-7x+2 \right )=5\left ( 4x^{2}-6x+3 \right )$

বা, $20x^{2}-28x+8=20x^{2}-30x+15$

বা, $20x^{2}-28x+8-20x^{2}+30x-15=0$

বা, $2x-7=0$

Q১০. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(v) $\frac{{{x}^{2}}}{x}=6$ সমীকরণটির বীজ / বীজদ্বয়

(a) 0

(b) 6

(d) − 6

সমাধানঃ

$\frac{x^{2}}{x}=6$

বা, $x^{2}-6x=0$

বা, $x\left ( x-6 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x=0$

কিন্তু, $x=0$ দ্বারা প্রদত্ত সমীকরণটি ( অর্থাৎ, $\frac{{{x}^{2}}}{x}=6$ ) সিদ্ধ হয় না, তাই $x=0$ সমীকরণটির সমাধান হবে না।

আবার,

$\left ( x-6 \right )=0$

$\therefore x=6$

উত্তরঃ (b) 6

Q১০. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) ${{\left( x-3 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-6x+9$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

সমাধানঃ

$\left ( x-3 \right )^{2}=x^{2}-6x+9$

বা, $x^{2}-6x+9=x^{2}-6x+9$

বা, $x^{2}-6x+9-x^{2}+6x-9=0$

বা, $0=0$

উত্তরঃ মিথ্যা ( দ্বিঘাত সমীকরণ হতে গেলে সমাধানে x এর দুটি মান অবশ্যই থাকতে হবে কিন্তু প্রদত্ত সমীকরণে x এর কোনও মান পাওয়া যায়নি, তাই এটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয় । )

Q১০. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(ii) $x^{2}=25$ সমীকরণটির একটিমাত্র বীজ 5.

সমাধানঃ

$x^{2}=25$

বা, $x=\pm \sqrt{25}$

$\therefore x=\pm 5$

উত্তরঃ মিথ্যা ( ${\color{Pink} \because }$ +5 ও -5 প্রদত্ত সমীকরণের দুটি বীজ )

Q১০. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) যদি $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ সমীকরণটির a = 0 এবং $b\neq 0$ হয়, তবে সমীকরনটি একটি _____ সমীকরণ।

উত্তরঃ রৈখিক

Q১০. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো _____।

সমাধানঃ

$x=1$ ও $x=1$

$\left ( x-1 \right )\left ( x-1 \right )=0$

বা, $x^{2}-x-x+1=0$

$\therefore x^{2}-2x+1=0$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ${\color{Blue} x^{2}-2x+1=0}$ .

Q১০. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii) $x^{2}=6x$ সমীকরণটির বীজদ্বয় ______ ও _______।

সমাধানঃ

$x^{2}=6x$

বা, $x^{2}-6x=0$

বা, $x\left ( x-6 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$x=0$

আবার,

$\left ( x-6 \right )=0$

$\therefore x=6$

উত্তরঃ প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয় 0 ও 6.

Q১১. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) ${{x}^{2}}+ax+3=0$ সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, a -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$x^{2}+ax+3=0$

প্রদত্ত সমীকরণে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$\left ( 1 \right )^{2}+a\times 2+3=0$

বা, $1+2a+3=0$

বা, $4+2a=0$

বা, $2a=-4$

∴ $a=-\frac{4}{2}=-2$

উত্তরঃ নির্ণেয় a এর মান -2

Q১১. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(ii) ${{x}^{2}}-\left( 2+b \right)x+6=0$ সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।

সমাধানঃ

$x^{2}-\left ( 2+b \right )x+6=0$

প্রদত্ত সমীকরণে $x=2$ বসিয়ে পাই,

$2^{2}-\left ( 2+b \right )\times 2+6=0$

বা, $4-4-2b+6=0$

বা, $-2b=-6$

বা, $2b=6$

$\therefore b=\frac{6}{2}=3$

$x^{2}-\left ( 2+b \right )\times 2+6=0$

সমীকরণে $b=3$ বসিয়ে পাই,

$x^{2}-\left ( 2+3 \right )\times x+6=0$

বা, $x^{2}-2x-3x+6=0$

বা, $x\left ( x-2 \right )-3\left ( x-2 \right )=0$

বা, $\left ( x-2 \right )\left ( x-3 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-2 \right )=0$

$\therefore x=2$

আবার,

$\left ( x-3 \right )=0$

$\therefore x=3$

উত্তরঃ ${\color{Blue} x^{2}-\left ( 2+b \right )x+6=0}$ সমীকরণের অপর বীজটির মান হবে 3 ।

Q১১. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(iii) $2{{x}^{2}}+kx+4=0$ সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।

সমাধানঃ

$2x^{2}+kx+4=0$

প্রদত্ত সমীকরণে $x=2$ বসিয়ে পাই,

$2\times 2^{2}+k\times 2+4=0$

বা, $8+2k+4=0$

বা, $12+2k=0$

বা, $2k=-12$

$\therefore k=-\frac{12}{2}=-6$

$2x^{2}+kx+4=0$ সমীকরণে $k=-6$ বসিয়ে পাই,

$2x^{2}-6x+4=0$

বা, $2x^{2}-4x-2x+4=0$

বা, $2x\left ( x-2 \right )-2\left ( x-2 \right )=0$

বা, $\left ( x-2 \right )\left ( 2x-2 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x-2 \right )=0$

$\therefore x=2$

আবার,

$\left ( 2x-2 \right )=0$

বা, $2x=2$

$\therefore x=\frac{2}{2}=1$

উত্তরঃ ${\color{Blue} 2x^{2}+kx+4=0}$ সমীকরণের অপর বীজটির মান হবে 1 ।

Q১১. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অনোন্যক এর অন্তর $\frac{9}{20}$ ; সমীকরণটি লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি $=\frac{x}{y}$ [ অর্থাৎ, ${\color{Blue} x<y}$ ]

∴ প্রকৃত ভগ্নাংশটির অনোন্যক হবে $=\frac{y}{x}$

প্রশ্নানুসারে, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে,

$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{9}{20}{\color{Blue} \left [ \because \frac{y}{x}>\frac{x}{y} \right ]}$

উত্তরঃ নির্ণেয় সমীকরণটি হল ${\color{DarkGreen} \frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{9}{20}}$

Note : ছাত্র-ছাত্রিদের সুবিধার জন্য উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করে দেওয়া হল।

বা, $\frac{y^{2}-x^{2}}{xy}=\frac{9}{20}$

বা, $20y^{2}-20x^{2}=9xy$

বা, $-20x^{2}+20y^{2}-9xy=0$

বা, $20x^{2}+9xy-20y^{2}=0$

বা, $20x^{2}+25xy-16xy+20y^{2}=0$

বা, $5x\left ( 4x+5y \right )-4y\left ( 4x+5y \right )=0$

বা, $\left ( 4x+5y \right )\left ( 5x-4y \right )=0$

$\because$ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( 4x+5y \right )=0$

বা, $4x=-5y$

$\therefore \frac{x}{y}=-\frac{5}{4}$

আবার,

$\left ( 5x-4y \right )=0$

বা, $5x=4y$

$\therefore \frac{x}{y}=\frac{4}{5}$

$\because -\frac{5}{4}$ একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ

$\therefore \frac{x}{y}\neq -\frac{5}{4}$

সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশটি $\left ( \frac{x}{y} \right )$ হবে $\frac{4}{5}$

Q১১. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(v) $a{{x}^{2}}+bx+35=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় −5 ও −7 হলে, a এবং b এর মান লিখি।

সমাধানঃ

$ax^{2}+bx+35=0$ সমীকরণে $x=-5$ বসিয়ে পাই,

$a\times \left ( -5 \right )^{2}+b\left ( -5 \right )+35=0$

বা, $25a-5b+35=0$

বা, $5\left ( 5a-b+7 \right )=0$

বা, $\left ( 5a-b+7 \right )=\frac{0}{5}=0$

বা, $5a-b=-7$ ……… (i)

$ax^{2}+bx+35=0$ সমীকরণে $x=-7$ বসিয়ে পাই,

$a\times \left ( -7 \right )^{2}+b\left ( -7 \right )+35=0$

বা, $49a-7b+35=0$

বা, $7\left ( 7a-b+5 \right )=0$

বা, $\left ( 7a-b+5 \right )=\frac{0}{7}=0$

বা, $7a-b=-5$ ……… (ii)

(ii) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$7a-b-5a+b=-5+7$

বা, $2a=2$

$\therefore a=\frac{2}{2}=1$

(i) নং সমীকরণে $a=1$ বসিয়ে পাই,

$5\times 1-b=-7$

বা, $-b=-7-5$

বা, $-b=-12$

$\therefore b=12$

উত্তরঃ নির্ণেয় a এর মান 1 ও b এর মান 12 ।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ :- কষে দেখি - ১.৩