ভেদ

by - sandip sinha


ভেদ

কষে দেখি: - ১৩


 Q১. দুটি A ও B-এর সম্পর্কিত মানগুলি

A = 25, 30, 45, 250
B = 10, 12, 18, 100

A ও B-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।

সমাধানঃ 

উপরের দেওয়া তথ্য থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, \frac{25}{10}=\frac{30}{12}=\frac{45}{18}=\frac{250}{100}=\frac{5}{2}

সুতরাং, A ও B এর মধ্যে সরল ভেদ সম্পর্ক আছে এবং ভেদ ধ্রুবক এর মান \frac{5}{2} ।


Q২.  x  ও  y  দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি

X = 18, 8, 12, 6

Y = 3, 27/4, 9/2, 9

 x  ও  y -এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।

সমাধানঃ 

উপরের দেওয়া তথ্য থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, 18\times 3=8\times \frac{27}{4}=12\times \frac{9}{2}=6\times 9=54

সুতরাং, A ও B এর মধ্যে ব্যস্তভেদ সম্পর্ক আছে এবং ভেদ ধ্রুবক এর মান 54 ।


Q৩.

(i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি. পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

সমাধানঃ 

ধরি,

সময় = T এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব = S

গতিবেগে স্থির রেখে, সময় বৃদ্ধি পেলে অতিক্রান্ত দূরত্ব ও বৃদ্ধি পাবে। 

∴ T ও S সরলভেদে আছে।

অর্থাৎ,

T ∝ S 

বা, \fn_jvn T=kS  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] ......... (i )

এখন,

\fn_jvn T=25 হলে  \fn_jvn S=14

সুতরাং,

\fn_jvn 25=k\times 14 

\fn_jvn \therefore k=\frac{25}{14}

বর্তমান সময় \fn_jvn \left ( T \right )=5 ঘন্টা = \fn_jvn 5\times 60 মিনিট = \fn_jvn 300 মিনিট। 

অতিক্রান্ত দূরত্ব \fn_jvn \left ( S \right )=?

(i ) নং সমীকরণে T  ও K এর মান বসিয়ে পাই,

\fn_jvn 300=\frac{25}{14}\times S

বা, \fn_jvn S=\frac{300\times 14}{25}

\fn_jvn \therefore S=168

উত্তরঃ বিপিনকাকু একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় 168 কিমি পথ যাবেন। 


(ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

সমাধানঃ 

মোট সন্দেশের সংখ্যা \fn_jvn =24\times 5=120 টি। 

ধরি,

শিশুর সংখ্যা = X জন এবং প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা = Y টি। 

মোট সন্দেশের পরিমান অপরিবর্তিত থাকলে, যদি শিশুর সংখ্যা কমে তবে প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা বাড়বে। 

সুতরাং এদের মধ্যে ব্যস্তানুপাতিক সম্পর্ক। 

অর্থাৎ,

X ∝ \frac{1}{Y}

বা, X=k\times \frac{1}{Y}  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, k=XY ........(i )

প্রথম ক্ষেত্রে ,

X=24 জন ও  Y=5 টি। 

\therefore k=24\times 5=120

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ,

X=\left ( 24-4 \right )=20 জন  ও  k=120

(i ) নং সমীকরণে  X  ও k এর মান বসিয়ে পাই  

120=20\times Y

বা, Y=\frac{120}{20}

\therefore Y=6

উত্তরঃ প্রত্যেক শিশু 6 টি করে গোটা সন্দেশ পাবে ।  


(iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে। অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

সমাধানঃ 

ধরি,

গ্রামবাসীর সংখ্যা = x জন  ও  সময় = y দিন। 

যেহেতু কাজের পরিমান একই, তাই কম সময়ের মধ্যে কাজটি সম্পূর্ণ করতে হলে বেশি পরিমান গ্রামবাসীকে কাজে নিয়োগ করতে হবে । 

অর্থাৎ, সময় কমলে গ্রামবাসীর সংখ্যা বাড়ছে। 

তাই বলা যায় এদের মধ্যে ব্যস্তানুপাতিক সম্পর্ক। 

সুতরাং,

x ∝ \frac{1}{y}

বা, x=k\times \frac{1}{y}  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, k=xy ......... (i )

প্রথম ক্ষেত্রে ,

x=50 জন  ও  y=18 দিন। 

\therefore k=50\times 18=900

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ,

y=15 দিন  ও k=900

(i ) নং সমীকরণে  y ও k এর মান বসিয়ে পাই  

900=x\times 15

বা, x=\frac{900}{15}

\therefore x=60

উত্তরঃ অতিরিক্ত {\color{DarkGreen} \left ( 60-50 \right )=10}  জন লোককে কাজে নিয়োগ করতে হবে । 


Q৪.

(i) y,  x -এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং  y = 9  যখন  x = 9 ;  x -এর মান নির্ণয় করি যখন  y = 6.

সমাধানঃ 

y,  x -এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে। 

অর্থাৎ,

y ∝ \sqrt{x}

বা, y=k\sqrt{x}  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

\therefore k=\frac{y}{\sqrt{x}}   ........(i )

প্রথম ক্ষেত্রে ,

y = 9  যখন  x = 9

এখন (i ) নং সমীকরণে  y ও x এর মান বসিয়ে পাই  

k=\frac{9}{\sqrt{9}}

\therefore k=\frac{9}{\sqrt{3\times 3}}=\frac{9}{3}=3

দ্বিতীয়ক্ষেত্রে ,

y = 6 ও k = 3

(i ) নং সমীকরণে  y ও k এর মান বসিয়ে পাই  

3=\frac{6}{\sqrt{x}}

বা, \sqrt{x}=\frac{6}{3}

বা, \sqrt{x}=2

উভয়দিকে বর্গ করে পাই 

\left ( \sqrt{x} \right )^{2}=\left ( 2 \right )^{2}

\therefore x=4

উত্তরঃ নির্ণেয় x -এর মান  4 .


(ii) x,  y -এর সঙ্গে সরলভেদে এবং  z -এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে।  y = 4,  z = 5  হলে  x = 3  হয়। আবার  y = 16,  z = 30  হলে,  x -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

x,  y -এর সঙ্গে সরলভেদে এবং  z -এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে।

অর্থাৎ,

x ∝ y , যখন  z ধ্রুবক। 

আবার ,

x ∝ \frac{1}{z} , যখন y ধ্রুবক। 

∴ x ∝ \frac{y}{z} , যখন y ও z উভয়ই পরিবর্তনশীল। 

সুতরাং ,

x=k\times \frac{y}{z} [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, k=\frac{xz}{y}   ..........(i )

(i ) নং সমীকরণে y = 4,  z = 5 এবং x = 3 বসিয়ে পাই,

k=\frac{3\times 5}{4}

\therefore k=\frac{15}{4}

আবার (i ) নং সমীকরণে  y = 16,  z = 30 এবং k=\frac{15}{4}বসিয়ে পাই,

\frac{15}{4}=\frac{x\times 30}{16}

বা, x=\frac{15\times 16}{30\times 4}

\therefore x=2

উত্তরঃ নির্ণেয় x -এর মান 2 .


(iii) x,  y -এর সঙ্গে সরলভেদে এবং  z -এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে।  y = 5  ও  z = 9  হলে x=\frac{1}{6} হয়।  x,  y  ও z -এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি এবং  y = 6  ও z=\frac{1}{5}  হলে,  x -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

x,  y -এর সঙ্গে সরলভেদে এবং  z -এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে।

অর্থাৎ,

x ∝ y , যখন  z ধ্রুবক। 

আবার ,

x ∝ \frac{1}{z} , যখন y ধ্রুবক। 

∴ x ∝ \frac{y}{z} , যখন y ও z উভয়ই পরিবর্তনশীল। 

সুতরাং ,

x=k\times \frac{y}{z} [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, k=\frac{xz}{y}   ..........(i )

(i ) নং সমীকরণে y = 5 ,  z = 9 এবং  x=\frac{1}{6} বসিয়ে পাই,

k=\frac{\frac{1}{6}\times 9}{5}

বা, k=\frac{1\times 9}{6\times 5}

\therefore k=\frac{3}{10}

আবার (i ) নং সমীকরণে  y = 6,  z=\frac{1}{5} এবং k=\frac{3}{10} বসিয়ে পাই,

\frac{3}{10}=\frac{x\times \frac{1}{5}}{6}

বা, \frac{3}{10}=\frac{x}{5\times 6}

বা, 10x=3\times 5\times 6

বা, x=\frac{3\times 5\times 6}{10}

\therefore x=9

উত্তরঃ নির্ণেয় x -এর মান 9 .


Q৫.

(i) x ∝ y  হলে, দেখাই যে, x + y ∝ x - y

সমাধানঃ 

x ∝ y

বা, x=ky [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{x}{y}=\frac{k}{1}

বা, \frac{x+y}{x-y}=\frac{k+1}{k-1}   [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

বা, \frac{x+y}{x-y}= ধ্রুবক 

∴ x+y ∝ x-y (প্রমাণিত )


(ii) A ∝ \frac{1}{C}  , C ∝ \frac{1}{B}  হলে, দেখাই যে,  A\ \alpha \ B

সমাধানঃ

A ∝ \frac{1}{C}   

বা, A=k\times \frac{1}{C}

বা, k=AC [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

\therefore C=\frac{k}{A} .......(i )

আবার, 

C ∝ \frac{1}{B}

বা, C=m\times \frac{1}{B} [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{k}{A}=\frac{m}{B}   [ (i ) নং সমীকরণ থেকে C এর মান বসিয়ে পাই ]

বা, Am=Bk

বা, \frac{A}{B}=\frac{k}{m}

বা, \frac{A}{B}= ধ্রুবক 

∴ A  ∝ B (প্রমাণিত )


(iii) যদি a ∝ b , b ∝ \frac{1}{c}  এবং  c ∝ d   হয়, তবে  a  ও  d এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।

সমাধানঃ 

a ∝ b

বা, a=k\times b [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, b=\frac{a}{k}   .........(i )

 b ∝ \frac{1}{c}  

বা, b=m\times \frac{1}{c} [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{a}{k}=\frac{m}{c}   [ (i ) নং সমীকরণ থেকে  b এর মান বসিয়ে পাই ]

বা, ac=km

বা, c=\frac{km}{a}  ...........(ii )

আবার,

c ∝ d 

বা, c=n\times d [ n = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{km}{a}=nd  [ (ii) নং সমীকরণ থেকে  c  এর মান বসিয়ে পাই ]

বা, km=and

বা, and=km

বা, a=\frac{km}{nd}

বা, a=\frac{km}{n}\times \frac{1}{d}

বা, a = ধ্রুবক \times \frac{1}{d}    [ {\color{Blue} \because \frac{km}{n}=} ধ্রুবক ]

∴ a ∝ \frac{1}{d}

উত্তরঃ নির্ণেয় a  ও  d এর মধ্যে ব্যস্ত ভেদ সম্পর্ক। 


(iv) x ∝ y ,  y  ∝ z  এবং  z ∝ x  হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

x ∝ y

বা, x=k\times y [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{x}{k}=y   .........(i )

 y  ∝ z 

বা, y=m\times z [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{x}{k}=mz   [ (i ) নং সমীকরণ থেকে  y এর মান বসিয়ে পাই ]

বা, x=kmz ...........(ii )

আবার,

z  ∝ x 

বা, z=n\times x [ n = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, z=n\times kmz  [ (ii) নং সমীকরণ থেকে  x  এর মান বসিয়ে পাই ]

বা, 1=kmn

উত্তরঃ নির্ণেয় ভেদ ধ্রুবক তিনটির (kmn) গুনফল 1। 


Q৬. x + y ∝ x - y  হলে, দেখাই যে,

(i)  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ \alpha \ xy

সমাধানঃ 

x + y ∝ x - y

বা, x + y = k × ( x - y)  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা,  \frac{x+y}{x-y}=\frac{k}{1}

বা, \frac{\left (x+y \right )^{2}}{\left (x-y \right )^{2}}=\frac{\left (k \right )^{2}}{\left (1 \right )^{2}}   [ উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ]

বা, \frac{\left (x+y \right )^{2}+\left (x-y \right )^{2}}{\left (x+y \right )^{2}-\left (x-y \right )^{2}}=\frac{\left (k \right )^{2}+\left (1 \right )^{2}}{\left (k \right )^{2}-\left (1 \right )^{2}}   [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

বা,  \frac{2\left ( x^{2}+y^{2} \right )}{4xy}=\frac{k^{2}+1}{k^{2}-1}   

বা, \frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )}{2xy}=\frac{k^{2}+1}{k^{2}-1}

বা, \frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )}{xy}=2\times \frac{k^{2}+1}{k^{2}-1} = ধ্রুবক       

বা, \left ( x^{2}+y^{2} \right )= ধ্রুবক × x y 

\therefore \left ( x^{2}+y^{2} \right ) ∝ x y  (প্রমাণিত )


(ii) x^{3}+y^{^{3}} ∝ x^{3}-y^{^{3}}

সমাধানঃ 

x + y ∝ x - y

বা, x + y = k × ( x - y)  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা,  \frac{x+y}{x-y}=\frac{k}{1}

বা, \frac{x+y+x-y}{x+y-x+y}=\frac{k+1}{k-1}  [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

বা, \frac{2x}{2y}=\frac{k+1}{k-1}

বা, \frac{x}{y}=m  [ ধরি, {\color{Blue} \frac{k+1}{k-1}=m=} ধ্রুবক ]

বা, \frac{x^{3}}{y^{3}}=m^{^{3}}  [ উভয়পক্ষে ঘন করে পাই ]

বা, \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{3}-y^{3}}=\frac{m^{3}+1}{m^{3}-1}  [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

বা, \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{3}-y^{3}}=  ধ্রুবক   [ {\color{Blue} \because } m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

\therefore x^{3}+y^{^{3}} ∝ x^{3}-y^{^{3}} (প্রমাণিত )


(iii)  ax + by ∝ px + qy  [যেখানে,  a, b, p, q  অশূন্য ধ্রুবক]

সমাধানঃ

x + y ∝ x - y

বা, x + y = k × ( x - y)  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা,  \frac{x+y}{x-y}=\frac{k}{1}

বা, \frac{x+y+x-y}{x+y-x+y}=\frac{k+1}{k-1}  [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

বা, \frac{2x}{2y}=\frac{k+1}{k-1}

বা, \frac{x}{y}=m  [ ধরি, {\color{Blue} \frac{k+1}{k-1}=m=} ধ্রুবক ]

বা, x = my ......... (i )

\therefore \frac{ax+by}{px+qy}

=\frac{amy+by}{pmy+qy}  [ (i) নং সমীকরণ থেকে  x  এর মান বসিয়ে পাই ]

=\frac{y\left ( am+b \right )}{y\left ( pm+q \right )}

=\frac{\left ( am+b \right )}{\left ( pm+q \right )} = ধ্রুবক  [ {\color{Blue} \because }  a, b, p, q, m  অশূন্য ধ্রুবক]

∴ ax + by ∝ px + qy  (প্রমাণিত )


Q৭.

(i) a² + b² ∝ ab   হলে, প্রমাণ করি যে, a+b ∝ a-b

সমাধানঃ 

a² + b² ∝ ab

বা, a² + b² = kab [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=\frac{k}{1}

বা, \frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}=\frac{k}{2}  [ উভয়পক্ষের হরে 2 গুন্ করে পাই ]

বা, \frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{a^{2}+b^{2}-2ab}=\frac{k+2}{k-2} [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

বা, \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( a-b \right )^{2}}=\frac{k+2}{k-2}

বা, \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{\frac{k+2}{k-2}}

বা, \frac{a+b}{a-b}= ধ্রুবক 

∴ a+b ∝ a-b (প্রমাণিত )


(ii) x³ + y³ ∝ x³ - y³  হলে, প্রমাণ করি যে,  x+y\ \alpha \ x-y

সমাধানঃ 

x³ + y³ ∝ x³ - y³

বা, x³ + y³ =k ( x³ - y³)  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা,  \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{3}-y^{3}}=\frac{k}{1}

বা, \frac{x^{3}+y^{3}+x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}-x^{3}+y^{3}}=\frac{k+1}{k-1} [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

বা, \frac{2x^{3}}{2y^{3}}=\frac{k+1}{k-1}

বা, \frac{x^{3}}{y^{3}}=\frac{k+1}{k-1}

বা, \frac{x}{y}=\sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}=m  [ ধরি , {\color{Blue} \sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}=m} ]

বা, x = my

বা,  \frac{x}{y}=m

বা, \frac{x+y}{x-y}=\frac{m+1}{m-1} [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

বা,  \frac{x+y}{x-y}=  ধ্রুবক 

∴ x+y\ \alpha \ x-y (প্রমাণিত )


Q৮. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ধরি,

কৃষক সংখ্যা = x জন , সময় = y দিন ও জমির পরিমান = zবিঘা। 

জমির পরিমান অপরিবর্তিত থাকলে, কৃষকের সংখ্যা কমলে চাষ করার জন্য প্রয়োজনীয় সময় বেশি লাগবে। 

সুতরাং, কৃষক সংখ্যার সাথে সময় ব্যস্ত সম্পর্কে আছে। 

অর্থাৎ,

y ∝ \frac{1}{x}  , যখন z  ধ্রুবক। 

আবার,

কৃষকের সংখ্যা অপরিবর্তিত রেখে, জমির পরিমান কমালে, চাষ করার জন্য প্রয়োজনীয় সময় কম লাগবে। 

সুতরাং, জমির পরিমানের সাথে সময় সরল সম্পর্কে আছে। 

অর্থাৎ,

y ∝ z , যখন x  ধ্রুবক। 

যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী ,

y ∝ \frac{z}{x}

বা, y=k\times \frac{z}{x}  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, k=\frac{xy}{z}   ..........(i )

(i ) নং সমীকরণে y = 5 ,  z = 18 এবং x = 15 বসিয়ে পাই,

k=\frac{15\times 5}{18}

\therefore k=\frac{25}{6}

আবার (i ) নং সমীকরণে  x = 10 ,  z = 12  এবং k=\frac{25}{6} বসিয়ে পাই,

\frac{25}{6}=\frac{10\times y}{12}

বা, y=\frac{25\times 12}{10\times 6}

\therefore y=5

উত্তরঃ ∴ 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করতে পারবেন। 


Q৯. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। 1\frac{1}{2},2  এবং  2\frac{1}{2}  মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। (ধরি, গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)।

সমাধানঃ 

ধরি,

গোলকের আয়তন v  এবং ব্যাসার্ধ r

প্রশ্নানুসারে,

v ∝ r^{3}

বা,  v=kr^{3}  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

প্রথম নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ =1\frac{1}{2} ÷ 2 =\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}  মিটার। 

 ∴ প্রথম নিরেট গোলকের আয়তন =k\left ( \frac{3}{4} \right )^{3}=\frac{27k}{64} ঘন মিটার।

দ্বিতীয় নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = 2 ÷ 2 = 1 মিটার। 

∴ দ্বিতীয় নিরেট গোলকের আয়তন =k\left ( 1 \right )^{3}=k ঘন মিটার।

তৃতীয় নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ =2\frac{1}{2} ÷ 2 =\frac{5}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{5}{4}  মিটার। 

 ∴ তৃতীয় নিরেট গোলকের আয়তন =k\left ( \frac{5}{4} \right )^{3}=\frac{125k}{64} ঘন মিটার।

∴ তিনটি গোলকের মোট আয়তন =\left ( \frac{27k}{64}+k+\frac{125k}{64} \right ) ঘন মিটার।

=\frac{27k+64k+125k}{64}=\frac{216k}{64} ঘন মিটার।

ধরি,

নতুন গোলকের আয়তন V এবং ব্যাসার্ধ R 

∴ নতুন নিরেট গোলকের আয়তন (V)=k\left ( R \right )^{3}=kR^{3} ঘন মিটার।

প্রশ্নানুসারে,

kR^{3}=\frac{216k}{64}

বা, R^{3}=\frac{216}{64}

বা, R^{3}=\left ( \frac{6}{4} \right )^{3}

\therefore R=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} মিটার 

∴ নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য =2\times \frac{3}{2}=3 মিটার।

উত্তরঃ নির্ণেয় নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 মিটার।


Q১০.  y  দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি  x  চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি  x  চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে।  x = 1  হলে  y = − 1  এবং  x = 3  হলে  y = 5 ;  x  ও  y  -এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ধরি,

চল রাশি দুটি হলো a ও b 

প্রশ্নানুযায়ী ,

y = a + b .......(i)

এবং 

a ∝ x 

বা, a = kx  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] .......(ii)

b ∝ \frac{1}{x}

বা, b=m\times \frac{1}{x}  [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, b=\frac{m}{x}.......(iii)

(i) নং সমীকরণে a ও b  এর মান বসিয়ে পাই

y=kx+\frac{m}{x} .......(iv)

(iv) নং সমীকরণে  x = 1 ও y = − 1 বসিয়ে পাই

-1=k\times 1+\frac{m}{1}

বা, k+m=-1 .......(v)

আবার,

(iv) নং সমীকরণে x = 3  ও y = 5 বসিয়ে পাই

5=k\times 3+\frac{m}{3}

বা, 9k+m=15 .......(vi)

(vi) নং সমীকরণ থেকে (v) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই 

9k+m-k-m=15-\left ( -1 \right )

বা,  8k=16

\therefore k=2

(v) নং সমীকরণে k = 2 বসিয়ে পাই 

2 + m = -1

m = -1 -2

∴ m= -3

(iv) নং সমীকরণে k ও m এর মান বসিয়ে পাই

y=2x+\frac{-3}{x}

বা, y=2x-\frac{3}{x}

উত্তরঃ নির্ণেয় x  ও  y  -এর মধ্যে সম্পর্ক  হল  {\color{DarkGreen} y=2x-\frac{3}{x}} .


Q১১. a ∝ b, b ∝ c  হলে, দেখাই যে, a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³)

সমাধানঃ 

b ∝ c

b = mc  [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] .......(i)

আবার, a ∝ b

বা, a= kb  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

বা, a = kmc .......(ii) [ (i) নং সমীকরণ থেকে b এর মান বসিয়ে পাই ]

এখন 

\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}}{abc\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )}

=\frac{\left ( kmc \right )^{3}\cdot \left ( mc \right )^{3}+\left ( mc \right )^{3}\cdot c^{3}+c^{3}\cdot\left ( kmc \right )^{3} }{kmc\cdot mc\cdot c\left [ \left ( kmc \right )^{3}+ \left ( mc \right )^{3}+c^{3}\right ]}

=\frac{k^{3}m^{3}c^{3}\cdot m^{3}c^{3}+m^{3}c^{3}\cdot c^{3}+c^{3}\cdot k^{3}m^{3}c^{3}}{km^{2}c^{3}\left [k^{3}m^{3}c^{3}+m^{3}c^{3}+c^{3} \right ]}

=\frac{k^{3}m^{6}c^{6}+m^{3}c^{6}+k^{3}m^{3}c^{6}}{km^{2}c^{3}\left [k^{3}m^{3}c^{3}+m^{3}c^{3}+c^{3} \right ]}

=\frac{m^{3}c^{6}\left ( k^{3}m^{3}+1+k^{3} \right )}{km^{2}c^{6}\left ( k^{3}m^{3}+m^{3}+1 \right )}

=\frac{m\left ( k^{3}m^{3}+k^{3}+1 \right )}{k\left ( k^{3}m^{3}+m^{3}+1 \right )}

= ধ্রুবক [k, m  উভয়ই ধ্রুবক]

উত্তরঃ সুতরাং, a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³) (প্রমাণিত)


Q১২.  x  ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ  x  -এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ x2  -এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

ধরি,

কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের পরিমান Y টাকা এবং 

মোট ব্যয়ের a অংশ x  -এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর bঅংশ  x2  -এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।

∴ a ∝ x

বা, a = kx [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] .......(i)

এবং

b ∝ x2

বা, b = mx2 [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] .......(ii)

প্রশ্নানুযায়ী,

Y = a + b 

(i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে a ও b এর মান বসিয়ে পাই ,

Y=kx+mx^{2} .......(iii)

বা, 5000=k\times 100+m\times \left ( 100 \right )^{2}    [x = 100 ও Y = 5000 বসিয়ে পাই]

বা, 50 = k + 100m .......(iv)

আবার,

বা, 12000=k\times 200+m\times \left ( 200 \right )^{2}    [x = 200 ও Y = 12000 বসিয়ে পাই]

বা, 60 = k + 200m .......(v)

(v) নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই 

k + 200m - k - 100m = 60 - 50

বা, 100m = 10

\therefore m=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}

m এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

50=k+100\times \frac{1}{10}

∴ k = 50 - 10 =40

(iii) নং সমীকরণে x  = 250 , k = 40 ও m=\frac{1}{10} বসিয়ে পাই ,

Y=40\times 250+\frac{1}{10}\times \left ( 250 \right )^{2}

=10000 + 6250

=16250

উত্তরঃ নির্ণেয় 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য 16250 টাকা ব্যয় হবে। 


Q১৩. চোঙের আয়তন, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে সরলভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 হলে, ওদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ধরি,

চোঙের আয়তন V, ভূমির ব্যাসার্ধ R এবং উচ্চতা H .

প্রশ্নানুযায়ী 

V ∝ R²H

∴ V = kR²H [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] .......(i)

ধরি, চোঙ দুটির ভূমির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 2r ও 3r  , উচ্চতা যথাক্রমে 5h ও 4h এবং আয়তন যথাক্রমে V_{1} ও V_{2} .

প্রথম চোঙের আয়তন V_{1} = k (2r)² . 5h = 20 kr²h

এবং দ্বিতীয়  চোঙের আয়তন V_{2} = k (3r)² . 4h = 36 kr²h

∴ চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 

= V_{1} : V_{2}

= 20 kr²h : 36 kr²h

= 20 : 36

= 5 : 9

উত্তরঃ নির্ণেয় চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 5 : 9 ।


Q১৪. পাঁচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

ধরি,

জমির পরিমান X , লাঙল সংখ্যা Y এবং দিন সংখ্যা Z ।

জমির পরিমান কমলে লাঙল সংখ্যা কমবে , অর্থাৎ এদের মধ্যে সরল সম্পর্ক। 

∴ X ∝ Y  .......(i)

আবার,

জমির পরিমান কমলে দিনসংখ্যা কমবে , অর্থাৎ এদের মধ্যে সরল সম্পর্ক। 

∴ X ∝ Z .......(ii)

যৌগিক ভেদের নিয়ম অনুসারে, (i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,

X ∝ Y Z 

বা,  X = kY Z [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] .......(iii)

(iii) নং সমীকরণে X = 2400 , Y = 25 ও  Z = 36 বসিয়ে পাই ,

2400 = k × 25 × 36

বা, k=\frac{2400}{25\times 36}

\therefore k=\frac{8}{3}

এখন (iii) নং সমীকরণে X=\frac{2400}{2}=1200 , k=\frac{8}{3}  ও  Z = 30 বসিয়ে পাই ,

1200=\frac{8}{3}\times Y\times 30

বা, Y=\frac{1200\times 3}{8\times 30}

∴ Y = 15

উত্তরঃ নির্ণেয় একটি ট্রাক্টর 15টি লাঙলের সমান চাষ করে ।


Q১৫. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।

প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।

সমাধানঃ 

ধরি,

গোলকের আয়তন V  গোলকের ব্যাসার্ধ r  এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল A .

প্রমান করতে হবে , V^{2} ∝ A^{3}

প্রশ্নানুযায়ী,

V  ∝  r^{3}

বা, V=kr^{3} [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] .......(i)

এবং 

A ∝ r^{2}

বা, A=mr^{2}  [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] .......(ii)

\therefore \frac{V^{2}}{A^{3}}=\frac{\left ( kr^{3} \right )^{2}}{\left ( mr^{2} \right )^{3}}=\frac{k^{2}r^{6}}{m^{3}r^{6}}=\frac{k^{2}}{m^{3}}= অশূন্য ধ্রুবক

∴ V^{2} ∝ A^{3} (প্রমাণিত)


Q১৬. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :

(i) x ∝ \frac{1}{y} হলে,

(a) x=\frac{1}{y}

(b) y=\frac{1}{x}

(c) xy=1

(d) xy= অশূন্য ধ্রুবক

সমাধানঃ 

x ∝ \frac{1}{y}

বা, x=k\times \frac{1}{y}  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, xy = k = অশূন্য ধ্রুবক 

উত্তরঃ (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক


(ii)  যদি  x ∝ y   হয়, তখন

(a) x^{2}\: \alpha \: y^{3}

(b) x^{3}\: \alpha \: y^{2}

(c) x\: \alpha \: y^{3}

(d) x^{2} ∝ y^{2}

সমাধানঃ 

x ∝ y 

বা, x = ky  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, x^{2}=\left ( ky \right )^{2}

বা, x^{2}=k^{2}y^{2}

\therefore x^{2} ∝ y^{2} [ {\color{Blue} \because k^{2}} = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

উত্তরঃ (d) {\color{DarkGreen} x^{2}} ∝ {\color{DarkGreen} y^{2}}


(iii)  x ∝ y   এবং  y = 8  যখন  x = 2 ;  y = 16  হলে,  x  -এর মান

(a) 2

(b) 4

(c) 6

(d) ৪

সমাধানঃ 

x ∝ y 

বা, x = ky  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

k=\frac{x}{y} .......(i )

(i ) নং সমীকরণে y = 8 , x = 2 বসিয়ে পাই 

k=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}

(i ) নং সমীকরণে y = 16 ও k=\frac{1}{4} বসিয়ে পাই 

\frac{1}{4}=\frac{x}{16}

4x = 16

\therefore x=\frac{16}{4}=4

উত্তরঃ (b) 4


(iv)  x ∝ y  এবং  y = 4  যখন  x = 8 ;  x = 32  হলে,  y এর ধনাত্মক মান।

(a) 4

(b) 8

(c) 16

(d) 32

সমাধানঃ 

x ∝ y 

বা, x = ky  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

k=\frac{x}{y} .......(i )

(i ) নং সমীকরণে y = 4 , x = 8 বসিয়ে পাই 

k=\frac{8}{4}=2

(i ) নং সমীকরণে  x = 32 ও k = 2 বসিয়ে পাই 

2=\frac{32}{y}

\therefore y=\frac{32}{2}=16

উত্তরঃ (c) 16


(v) যদি   y - z ∝ \frac{1}{x} , z - x ∝ \frac{1}{y}  এবং   x - y ∝ \frac{1}{z} হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি

(a) 0

(b) 1

(c) ­− 1

(d) 2

সমাধানঃ 

 y - z ∝ \frac{1}{x}

বা, y-z=k\times \frac{1}{x}  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, k=x\left ( y-z \right ) .......(i)

আবার,

 z - x ∝ \frac{1}{y} 

বা, z-x=m\times \frac{1}{y} [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, m=y\left ( z-x \right ) .......(ii)

এবং

বা, x - y ∝ \frac{1}{z}

বা, x-y=n\times \frac{1}{z} [ n = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, n=z\left ( x-y \right ) .......(iii)

এখন 

(i) + (ii) + (iii) করে পাই 

k + m + n = x(y-z) + y(z-x) + z(x-y)

= xy - xz + yz - xy + xz - yz

= 0

∴ তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি 0 

উত্তরঃ (a) 0


(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i)  y ∝ \frac{1}{x}  হলে, \frac{y}{x}= অশূন্য ধ্রুবক

সমাধানঃ 

y ∝ \frac{1}{x} 

বা, y=k\times \frac{1}{x} [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, yx=k 

∴ yx = অশূন্য ধ্রুবক 

উত্তরঃ ∴ প্রদত্ত বিবৃতিটি  মিথ্যা। 


(ii)  x ∝ z  এবং  y ∝ z  হলে, xy ∝ z

সমাধানঃ 

x ∝ z 

বা, x = kz  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

এবং

 y ∝ z 

বা, y = mz  [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

এখন 

\frac{xy}{z}

=\frac{kz\times mz}{z}

=\frac{km}{z} ≠ ধ্রুবক 

\because \frac{xy}{z} ≠ ধ্রুবক 

উত্তরঃ ∴ প্রদত্ত বিবৃতিটি  মিথ্যা। 


(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) x ∝ \frac{1}{y}  এবং y ∝ \frac{1}{z} হলে,  x ∝ ______

সমাধানঃ 

x ∝ \frac{1}{y} 

বা, x=k\times \frac{1}{y} [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, y=\frac{k}{x} ........(i)

এবং

y ∝ \frac{1}{z} 

বা, y=m\times \frac{1}{z} [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{k}{x}=\frac{m}{z} [ (i) নং সমীকরণ থেকে  y এর মান বসিয়ে পাই ]

বা, mx = kz

বা, x=\frac{k}{m}z

বা, \frac{x}{z}=\frac{k}{m}

বা, \frac{x}{z}= ধ্রুবক 

∴ x ∝ z

উত্তরঃ z 


(ii) x ∝ y   হলে,  x^{n} ∝  _______

সমাধানঃ 

x ∝ y 

বা, x = ky  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, x^{n}=\left ( ky \right )^{n}

বা, x^{n}=k^{n}y^{n}

\therefore x^{n} ∝ y^{n} [ {\color{Blue} \because k^{n}} = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

উত্তরঃ  {\color{DarkGreen} y^{n}}


(iii) x ∝ y  এবং  x ∝ z হলে, (y + z) ∝  ________

সমাধানঃ 

x ∝ y

বা, x = ky  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{x}{k}=y .......(i)

এবং 

x ∝ z

বা, x = mz  [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{x}{m}=z .......(ii)

∴ (y + z)

=\frac{x}{k}+\frac{x}{m}

=x\left (\frac{1}{k}+\frac{1}{m} \right )

∴ (y + z) ∝ x

উত্তরঃ x 


Q১৭. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) x ∝ y^{2}   এবং  y = 2a  যখন  x = a ;  x  ও  y এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

x ∝ y^{2} 

বা, x=ky^{2} [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]  .......(i)

বা, k=\frac{x}{y^{2}}

বা, k=\frac{a}{\left ( 2a \right )^{2}}

\therefore k=\frac{1}{4a}

(i) নং সমীকরণে k এর মান বসিয়ে পাই

x=\frac{1}{4a}y^{2}

উত্তরঃ {\color{DarkGreen} x=\frac{1}{4a}y^{2}}  ইহা x  ও  y এর মধ্যে সম্পর্ক। 


(ii) x ∝ y ,  y ∝ z   এবং  z ∝ x   হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

x ∝ y

বা, x = ky  [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{x}{y}=k .......(i)

আবার 

y ∝ z

বা, y = mz  [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{y}{z}=m .......(ii)

এবং 

z ∝ x 

z = nx  [n = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{z}{x}=n .......(iii)

এখন 

[ (i) × (ii) × (iii) করে পাই ]

kmn=\frac{x}{y}\times \frac{y}{z}\times \frac{z}{x}

\therefore kmn=1

উত্তরঃ নির্ণেয় অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1 .


(iii) x ∝ \frac{1}{y}  এবং y ∝ \frac{1}{z}  হলে,  x, z  এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

x ∝ \frac{1}{y} 

বা, x=k\times \frac{1}{y} [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, y=\frac{k}{x} ........(i)

এবং

y ∝ \frac{1}{z} 

বা, y=m\times \frac{1}{z} [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা, \frac{k}{x}=\frac{m}{z} [ (i) নং সমীকরণ থেকে  y এর মান বসিয়ে পাই ]

বা, mx = kz

বা, x=\frac{k}{m}z

বা, \frac{x}{z}=\frac{k}{m}

বা, \frac{x}{z}= ধ্রুবক 

∴ x ∝ z

উত্তরঃ নির্ণেয়  x, z  এর সঙ্গে সরলভেদে আছে। 


(iv) x ∝ yz  এবং y ∝ zx হলে, দেখাই যে,  z একটি অশূন্য ধ্রুবক।

সমাধানঃ 

x ∝ yz

বা, x = kyz [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] ....... (i)

এবং

y ∝ zx

বা, y = mzx  [ m = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

বা,  y = mz × kyz [ (i) নং সমীকরণ থেকে  x এর মান বসিয়ে পাই ]

বা, 1 = kmz²

বা,  z^{2}=\frac{1}{km}

বা, z=\sqrt{\frac{1}{km}}  [ {\color{Blue} \because } k , m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

∴ z একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক। ( প্রমাণিত )


(v) যদি b ∝ a³  হয় এবং  a  এর বৃদ্ধি হয়  2 : 3  অনুপাতে, তাহলে  b  -এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 

b ∝ a³

b = ka³ [ k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

\therefore b_{1}=k\left ( 2a \right )^{3}=8ka^{3}

এবং 

b_{2}=k\left ( 3a \right )^{3}=27ka^{3}

\therefore b_{1}:b_{2}=8ka^{3}:27ka^{3}=8:27

উত্তরঃ নির্ণেয় b  -এর বৃদ্ধি হয় 8 : 27 অনুপাতে। 





Tags

Post a Comment

0 Comments