ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি :- কষে দেখি

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি

কষে দেখি :- ২৩.৩

Q১. (i) $\sin \theta =\frac{4}{5}$ হলে, $\frac{\text{cosec}\theta }{1+\cot \theta }$ -এর মান নির্ণয় করে লিখি।

সমাধান :

প্রদত্ত, $\sin \theta =\frac{4}{5}$

${\color{Blue} \because }$ $sin \theta$

ধরি, লম্ব = 4k এবং অতিভুজ = 5k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (4k)² + (ভূমি)² = (5k)²

বা, 16k² + (ভূমি)² = 25k²

বা, (ভূমি)² = 25k² − 16k²

বা, (ভূমি)² = 9k²

বা, ভূমি = $\sqrt{9k^{2}}\Rightarrow 3k$

এখন, ∵ $cosec \theta$

$\therefore cosec\theta =\frac{5k}{4k}\Rightarrow \frac{5}{4}$

আবার, ∵ $cot \theta$

$\therefore cot\theta =\frac{3k}{4k}\Rightarrow \frac{3}{4}$

নির্ণেয়, $\frac{\text{cosec}\theta }{1+\cot \theta }$

cosecθ ও cotθ এর মান বসিয়ে পাই,

$=\frac{\left ( \frac{5}{4} \right )}{1+\left ( \frac{3}{4} \right )}$

$=\frac{\left ( \frac{5}{4} \right )}{\left ( \frac{4+3}{4} \right )}$

$=\left ( \frac{5}{4} \right )\div \left ( \frac{7}{4} \right )\Rightarrow \left ( \frac{5}{4}\times \frac{4}{7} \right )\Rightarrow \frac{5}{7}$ (Answer)

Q১. (ii) যদি $\tan \theta =\frac{3}{4}$ হয়, তবে দেখাই যে, $\sqrt{\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}=\frac{1}{2}$

সমাধান :

প্রদত্ত, $\tan \theta =\frac{3}{4}$

${\color{Blue} \because }$ $tan \theta$

ধরি, লম্ব = 3k এবং ভূমি = 4k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (3k)² + (4k)² = (অতিভুজ)²

বা, 9k² + 16k² = (অতিভুজ)²

বা, (অতিভুজ)² = 25k²

বা, অতিভুজ = $\sqrt{25k^{2}}\Rightarrow 5k$

আমরা জানি, ∵ $sin \theta$

$\therefore sin\theta =\frac{3k}{5k}\Rightarrow \frac{3}{5}$

এখন, $1-sin \theta$

$= 1 - (\frac{3}{5}) = \frac{5 - 3}{5} \Rightarrow \frac{2}{5}$

আবার,

$1 + \sin θ = 1 + \frac{3}{5} = \frac{5 + 3}{5} \Rightarrow \frac{8}{5}$

এখন,

$\frac{1 + \sin θ}{1 - \sin θ} = \frac{(\frac{2}{5})}{(\frac{8}{5})} \Rightarrow (\frac{2}{5} \div \frac{8}{5}) = (\frac{2}{5} \times \frac{5}{8}) \Rightarrow \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

বামপক্ষ :

$\sqrt{\frac{1 - sinθ}{1 + sinθ}} = \sqrt{\frac{1}{4}} [∵ \frac{1 - sinθ}{1 + sinθ} = \frac{1}{4}] = \frac{1}{2}$

ডানপক্ষ :

$\frac{1}{2}$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

Q১. (iii) tanθ = 1 হলে, $\frac{8\sin \theta +5\cos \theta }{{{\sin }^{3}}\theta -2{{\cos }^{3}}\theta +7\cos \theta }$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান : প্রদত্ত,

$\tan θ = 1$ $\Rightarrow \tan θ = \tan 45 ° ∴ θ = 45 °$

এখন,

$\sin θ = \sin 45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}} [∵ s i n 45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}}]$

এবং

$\cos θ = \cos 45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}} [∵ c o s 45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}}]$

নির্ণেয়,

$[\sqrt{\frac{8 \sin θ + 5 \cos θ}{\sin^{3} θ - 2 \cos^{3} θ + 7 \cos θ}= (8 \sin θ + 5 \cos θ) \div (\sin^{3} θ - 2 \cos^{3} θ + 7 \cos θ) = [8 \times (\frac{1}{\sqrt{2}}) + 5 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})] \div [{(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{3} - 2 {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{3} + 7 (\frac{1}{\sqrt{2}})] = (\frac{8}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}}) \div (\frac{1}{2 \sqrt{2}} - \frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{7}{\sqrt{2}}) = (\frac{8 + 5}{\sqrt{2}}) \div (\frac{1 - 2 + (7 \times 2)}{2 \sqrt{2}}) = (\frac{13}{\sqrt{2}}) \div (\frac{1 - 2 + 14}{2 \sqrt{2}}) = (\frac{13}{\sqrt{2}}) \div (\frac{13}{2 \sqrt{2}}) = (\frac{13}{\sqrt{2}} \times \frac{2 \sqrt{2}}{13}) \Rightarrow 2 ans।}]$

$[\sqrt{}]$

Q২. (i) cosecθ এবং tanθ কে sinθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

সমাধান :

$[\sqrt{\cos e c θ = \frac{1}{\sin θ}}]$

এবং

$[\sqrt{\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ} \Rightarrow \tan θ = \frac{\sin θ}{\sqrt{1 - \sin^{2} θ}} [∵ c o s θ = \sqrt{1 - s i n^{2} θ}]}]$

$[\sqrt{[\sqrt{}]}]$

Q২. (ii) cosecθ এবং tanθ কে cosθ -এর মাধ্যমে লিখি।

সমাধান :

$[\sqrt{[\sqrt{\cos e c θ = \frac{1}{\sin θ} \Rightarrow \cos e c θ = \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} θ}} [∵ \sin θ = \sqrt{1 - \cos^{2} θ}]}]}]$

এবং

$[\sqrt{[\sqrt{\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ} \Rightarrow \tan θ = \frac{\sqrt{1 - \cos^{2} θ}}{\cos θ} [∵ \sin θ = \sqrt{1 - \cos^{2} θ}]}]}]$

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{}]}]}]$

Q৩. (i) secθ + tanθ = 2 হলে, (secθ − tanθ) -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

আমরা জানি,

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{s e c^{2} θ - \tan^{2} θ = 1 \Rightarrow (s e c θ + \tan θ) . (s e c θ - \tan θ) = 1 [∵ a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)]}]}]}]$

secθ + tanθ = 2 বসিয়ে পাই,

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{\Rightarrow 2 \times (s e c θ - \tan θ) = 1 \Rightarrow s e c θ - \tan θ = \frac{1}{2} (A n s w e r)}]}]}]$

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{()}]}]}]$

Q৩. (ii) $\text{cosec}\theta -\cot \theta =\sqrt{2}-1$ হলে, $\left ( cosec\theta +cot\theta \right )$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

আমরা জানি,

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{(\cos e c^{2} θ - c o t^{2} θ = 1 \Rightarrow (\cos e c θ + c o t θ) . (\cos e c θ - c o t θ) = 1 [∵ a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)])}]}]}]$

$\text{cosec}\theta -\cot \theta =\sqrt{2}-1$ বসিয়ে পাই,

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{(\Rightarrow (\cos e c θ + c o t θ) \times (\sqrt{2} - 1) = 1 \Rightarrow \cos e c θ + c o t θ = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} (A n s w e r))}]}]}]$

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{(())}]}]}]$

Q৩. (iii) sinθ + cosθ = 1 হলে, sinθ×cosθ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

আমরা জানি,

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{((s i n^{2} θ + c o s^{2} θ = 1 \Rightarrow {(\sin θ + \cos θ)}^{2} - 2 . \sin θ \times \cos θ = 1 [∵ a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b]))}]}]}]$

sinθ + cosθ = 1 বসিয়ে পাই,

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{((\Rightarrow {(1)}^{2} - 2 . \sin θ \times \cos θ = 1 \Rightarrow 1 - 2 . \sin θ \times \cos θ = 1 \Rightarrow 1 - 1 = 2 . \sin θ \times \cos θ \Rightarrow 0 = 2 . \sin θ \times \cos θ \Rightarrow \frac{0}{2} = \sin θ \times \cos θ \Rightarrow \sin θ \times \cos θ = 0 (A n s w e r)))}]}]}]$

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{((()))}]}]}]$

Q৩. (iv) tanθ + cotθ = 2 হলে, (tanθ − cotθ) -এর মান লিখি।

সমাধান :

প্রদত্ত,

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{(((\tan θ + c o t θ = 2\Rightarrow \tan θ + \frac{1}{\tan θ} = 2 [∵ c o t θ = \frac{1}{\tan θ}] \Rightarrow \frac{\tan^{2} θ + 1}{\tan θ} = 2 \Rightarrow \tan^{2} θ + 1 = 2 \tan θ \Rightarrow \tan^{2} θ - 2 \tan θ + 1 = 0 \Rightarrow {(\tan θ)}^{2} - 2 \times \tan θ \times 1 + {(1)}^{2} = 0 \Rightarrow {(\tan θ - 1)}^{2} = 0 [∵ a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}] ∴ \tan θ - 1 = 0 \Rightarrow \tan θ = 1)))}]}]}]$

আমরা জানি,

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{(((c o t θ = \frac{1}{\tan θ} ∴ c o t θ = \frac{1}{1} \Rightarrow 1 [∵ \tan θ = 1])))}]}]}]$

নির্ণেয়,

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{(((\tan θ - c o t θ = 1 - 1 [∵ \tan θ = c o t θ = 1] = 0 (A n s w e r))))}]}]}]$

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{(((())))}]}]}]$

Q৩. (v) $\sin \theta -\cos \theta =\frac{7}{13}$ হলে, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

আমরা জানি,

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{((((\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1∵ a^{2} + b^{2} = \frac{1}{2} [] ∴ \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = \frac{1}{2} [] = 1 \Rightarrow {()}^{2} + {()}^{2} = 1 \times 2 \Rightarrow {()}^{2} + {()}^{2} = 2 [] \Rightarrow {()}^{2} + \frac{49}{169} = 2 \Rightarrow {()}^{2} = 2 - \frac{49}{169} \Rightarrow {()}^{2} = \frac{}{169} \Rightarrow {()}^{2} = \frac{}{169} \Rightarrow \frac{289}{169} \Rightarrow \sin θ + \cos θ = \sqrt{\frac{}{}}))))}]}]}]$

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{((((\sqrt{}))))}]}]}]$

Q৩. (vi) $\sin \theta \times \cos \theta =\frac{1}{2}$ হলে, $\left ( sin\theta +cos\theta \right )$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

আমরা জানি,

$[\sqrt{[\sqrt{[\sqrt{((((\sqrt{}))))}]}]}]$ =2 Answer

Q৩. (vii) $\sec \theta -\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ হলে, secθ এবং tanθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত,

$s e c θ - \tan θ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow s e c θ = \frac{1}{\sqrt{3}} + \tan θ$

বর্গ করে পাই,

$\Rightarrow s e c^{2} θ = {(\frac{1}{\sqrt{3}} + \tan θ)}^{2} \Rightarrow s e c^{2} θ = {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} + 2 . \frac{1}{\sqrt{3}} . \tan θ + \tan^{2} θ \Rightarrow 1 + \tan^{2} θ = \frac{1}{3} + \frac{2 \tan θ}{\sqrt{3}} + \tan^{2} θ [∵ s e c^{2} θ = 1 + \tan^{2} θ] \Rightarrow 1 + \tan^{2} θ - \frac{1}{3} - \tan^{2} θ = \frac{2 \tan θ}{\sqrt{3}} \Rightarrow 1 - \frac{1}{3} = \frac{2 \tan θ}{\sqrt{3}} \Rightarrow \frac{3 - 1}{3} = \frac{2 \tan θ}{\sqrt{3}} \Rightarrow \frac{2 \tan θ}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \tan θ = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{3 \times \sqrt{3}} = \frac{3}{3 \sqrt{3}} ∴ \tan θ = \frac{1}{\sqrt{3}} (A n s w e r)$

আবার, আমরা জানি,

$s e c θ = \sqrt{1 + \tan^{2} θ} ∴ s e c θ = \sqrt{1 + {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}} \Rightarrow s e c θ = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} \Rightarrow \sqrt{\frac{3 + 1}{3}} \Rightarrow \sqrt{\frac{4}{3}} \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{3}} ∴ s e c θ = \frac{2}{\sqrt{3}} (A n s w e r)$

$()$

Q৩. (viii) $\text{cosec}\theta +\cot \theta =\sqrt{3}$ হলে, $cosec\theta$ এবং $cot\theta$ – এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত,

$(\cos e c θ + c o t θ = \sqrt{3}\Rightarrow co s e c θ = \sqrt{3} - c o t θ)$

বর্গ করে পাই,

$(\Rightarrow c o s e c^{2} θ = {(\sqrt{3} - c o t θ)}^{2} \Rightarrow c o s e c^{2} θ = {(\sqrt{3})}^{2} - 2 . \sqrt{3} . c o t θ + c o t^{2} θ \Rightarrow 1 + c o t^{2} θ = 3 - 2 \sqrt{3} c o t θ + c o t^{2} θ [∵ c o s e c^{2} θ = 1 + c o t^{2} θ] \Rightarrow 2 \sqrt{3} c o t θ = 3 + {c o t}^{2} θ - 1 - {c o t}^{2} θ \Rightarrow 2 \sqrt{3} c o t θ = 2 \Rightarrow \sqrt{3} c o t θ = 1 \Rightarrow c o t θ =)$ 13 Answer

cosecθ=1+cot2θ∴cosecθ=1+132⇒cosecθ=1+13⇒3+13⇒43⇒23∴cosecθ=23 Answer

Q৩. (ix) $\frac{\sin \theta +\cos \theta }{\sin \theta -\cos \theta }=7$ হলে, $tan\theta$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

প্রদত্ত,

$\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ - \cos θ} = 7 \Rightarrow 7 (\sin θ - \cos θ) = (\sin θ + \cos θ) \Rightarrow 7 \sin θ - 7 \cos θ = \sin θ + \cos θ \Rightarrow 7 \sin θ - \sin θ = \cos θ + 7 \cos θ \Rightarrow 6 \sin θ = 8 \cos θ \Rightarrow \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac{8}{6} \Rightarrow \frac{4}{3} ∴ \tan θ = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} [∴]$ tanθ=sinθcosθ Answer

Q৩. (x) $\frac{\text{cosec}\theta +\text{sin}\theta }{\text{cosec}\theta -\sin \theta }=\frac{5}{2}$ হলে, sinθ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

প্রদত্ত,

$\frac{\cos e c θ + \sin θ}{\cos e c θ - \sin θ} = \frac{5}{2} \Rightarrow 5 (\cos e c θ - \sin θ) = 2 (\cos e c θ + \sin θ) \Rightarrow 5 \cos e c θ - 5 \sin θ = 2 \cos e c θ + 2 \sin θ \Rightarrow 5 \cos e c θ - 2 \cos e c θ = 2 \sin θ + 5 \sin θ \Rightarrow 3 \cos e c θ = 7 \sin θ \Rightarrow 3 \times \frac{1}{\sin θ} = 7 \sin θ [∵ \cos e c θ = \frac{1}{\sin θ}] \Rightarrow \frac{3}{\sin θ} = 7 \sin θ \Rightarrow 7 \sin^{2} θ = 3 \Rightarrow \sin^{2} θ = \frac{3}{7} \Rightarrow \sin θ = \sqrt{\frac{3}{7}} (A n s w e r)$

$()$

Q৩. (xi) $\sec \theta +\cos \theta =\frac{5}{2}$ হলে, $\left( \sec \theta -\cos \theta \right)$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

প্রদত্ত,

$(s e c θ + \cos θ = \frac{5}{2})$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$(\Rightarrow {(s e c θ + \cos θ)}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2} \Rightarrow \frac{25}{4} [∵ {(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b] ∴ {(s e c θ - \cos θ)}^{2} + 4 s e c θ . \cos θ = \frac{25}{4} \Rightarrow {(s e c θ - \cos θ)}^{2} + 4 \times 1 = \frac{25}{4} [∵ s e c θ . \cos θ = 1] \Rightarrow {(s e c θ - \cos θ)}^{2} = \frac{25}{4} - 4 \Rightarrow {(s e c θ - \cos θ)}^{2} = \frac{25 - (4 \times 4)}{4} \Rightarrow {(s e c θ - \cos θ)}^{2} = \frac{25 - 16}{4} \Rightarrow \frac{9}{4} \Rightarrow s e c θ - \cos θ = \sqrt{\frac{9}{4}} \Rightarrow \frac{3}{2} ∴ s e c θ - \cos θ = \frac{3}{2} (A n s w e r))$

$(())$

Q৩. (xii) $5{{\sin }^{2}}\theta +4{{\cos }^{2}}\theta =\frac{9}{2}$ সম্পর্কটি থেকে tanθ -এর নির্ণয় করি।

সমাধান :

প্রদত্ত,

$((5 \sin^{2} θ + 4 \cos^{2} θ = \frac{9}{2} \Rightarrow 2 (5 \sin^{2} θ + 4 \cos^{2} θ) = 9 \Rightarrow 10 \sin^{2} θ + 8 \cos^{2} θ = 9 \times 1 \Rightarrow 10 \sin^{2} θ + 8 \cos^{2} θ = 9 \times (\sin^{2} θ + \cos^{2} θ) [∵ \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1] \Rightarrow 10 \sin^{2} θ + 8 \cos^{2} θ = 9 \sin^{2} θ + 9 \cos^{2} θ \Rightarrow 10 \sin^{2} θ - 9 \sin^{2} θ = 9 \cos^{2} θ - 8 \cos^{2} θ \Rightarrow \sin^{2} θ = \cos^{2} θ \Rightarrow \sin θ = \cos θ \Rightarrow \frac{\sin θ}{\cos θ} = 1 ∴ \tan θ = 1 [∵ \tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}] (A n s w e r)))$

$((()))$

Q৩. (xiii) ${{\tan }^{2}}\theta +{{\cot }^{2}}\theta =\frac{10}{3}$ হলে, $\tan \theta +\cot \theta$ এবং $tan\theta -cot\theta$ এর মান নির্ণয় করি এবং সেখান থেকে tanθ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

প্রদত্ত,

$(((\tan^{2} θ + c o t^{2} θ = \frac{10}{3} [∵ a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b] ∴ {(\tan θ + c o t θ)}^{2} - 2 \tan θ . c o t θ = \frac{10}{3} \Rightarrow {(\tan θ + c o t θ)}^{2} - 2 \times (1) = \frac{10}{3} [∵ \tan θ . c o t θ = 1] \Rightarrow {(\tan θ + c o t θ)}^{2} = \frac{10}{3} + 2 \Rightarrow \frac{10 + 6}{3} \Rightarrow \tan θ + c o t θ = \sqrt{\frac{16}{3}} \Rightarrow \frac{4}{\sqrt{3}} ∴ \tan θ + c o t θ = \frac{4}{\sqrt{3}} (A n s w e r))))$

আবার,

$(((\tan^{2} θ + c o t^{2} θ = \frac{10}{3} [∵ a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b] ∴ {(\tan θ - c o t θ)}^{2} + 2 \tan θ . c o t θ = \frac{10}{3} \Rightarrow {(\tan θ - c o t θ)}^{2} + 2 \times (1) = \frac{10}{3} [∵ \tan θ . c o t θ = 1] \Rightarrow {(\tan θ - c o t θ)}^{2} = \frac{10}{3} - 2 \Rightarrow \frac{10 - 6}{3} \Rightarrow \tan θ - c o t θ = \sqrt{\frac{4}{3}} \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{3}} ∴ \tan θ - c o t θ = \frac{2}{\sqrt{3}} (A n s w e r))))$

$(((())))$

Q৩. (xiv) ${{\sec }^{2}}\theta +{{\tan }^{2}}\theta =\frac{13}{12}$ হলে, $\left( {{\sec }^{4}}\theta -{{\tan }^{4}}\theta \right)$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

নির্ণেয়,

$((((s e c^{4} θ - \tan^{4} θ = {(s e c^{2} θ)}^{2} - {(\tan^{2} θ)}^{2} [∵ a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)] = (s e c^{2} θ + \tan^{2} θ) . (s e c^{2} θ - \tan^{2} θ) = (\frac{13}{12}) \times (1) [∵ s e c^{2} θ - \tan^{2} θ = 1; s e c^{2} θ + \tan^{2} θ = \frac{13}{12}] = \frac{13}{12} ∴ s e c^{4} θ - \tan^{4} θ = \frac{13}{12} (A n s w e r)))))$

$((((()))))$

Q৪. (i) PQR ত্রিভজে $\angle Q$ সমকোণ। $PR=\sqrt{5}$ একক এবং $PQ-RQ=1$ একক হলে, cosP− cosR এর মান নির্ণয় করি।

$((((()))))$

সমাধান :

∵ $cos \theta$ এবং P কোনের সাপেক্ষে, ভূমি = PQ ; অতিভুজ = PR

$∴ \cos P = \frac{P Q}{P R}$

একইভাবে, R কোনের সাপেক্ষে, ভূমি = RQ এবং অতিভুজ = PR

$∴ \cos R = \frac{R Q}{P R}$

নির্ণেয়, cosP − cosR

$= \frac{P Q}{P R} - \frac{R Q}{P R} = \frac{P Q - R Q}{P R} = \frac{1}{\sqrt{5}} [∵ P R = \sqrt{5}; P Q - R Q = 1] ∵ \cos P - \cos R = \frac{1}{\sqrt{5}} (A n s w e r)$

Q৪. (ii) XYZ ত্রিভূজে $\angle Y$ সমকোণ। $XY=2\sqrt{3}$ একক এবং $XZ-YZ=2$ একক হলে, secX− tanX এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

∵ $sec \theta$ এবং X কোনের সাপেক্ষে, ভূমি = XY ; অতিভুজ = XZ

$∴ s e c X = \frac{X Z}{X Y}$

একইভাবে, ∵ $tan \theta$ এবং X কোনের সাপেক্ষে, লম্ব =YZ ; ভূমি = XY

$∴ \tan X = \frac{Y Z}{X Y}$

নির্ণেয়, secX − tanX

$= \frac{X Z}{X Y} - \frac{Y Z}{X Y} = \frac{X Z - Y Z}{X Y} = \frac{2}{2 \sqrt{3}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} ∴ s e c X - \tan X = \frac{1}{\sqrt{3}} (A n s w e r)$

$()$

Q৫. সম্পর্কগুলি থেকে θ কে অপনয়ন করি :(i) $x=2\sin \theta ,y=3\cos \theta$

সমাধান :

$(∵ x = 2 \sin θ \Rightarrow \sin θ = \frac{x}{2} \Rightarrow \sin^{2} θ = {(\frac{x}{2})}^{2} = \frac{x^{2}}{4} ∴ \sin^{2} θ = \frac{x^{2}}{4} . . . . . . . (i))$

আবার,

$(∵ y = 3 \cos θ \Rightarrow \cos θ = \frac{y}{3} \Rightarrow \cos^{2} θ = {(\frac{y}{3})}^{2} \Rightarrow \frac{y^{2}}{9} ∴ \cos^{2} θ = \frac{y^{2}}{9} . . . . . . . (i i))$

(i) ও (ii) নং সমীকরণ দুটিকে যোগ করে পাই,

$(\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} \Rightarrow 1 = \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} [∵ \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1] ∴ \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (A n s w e r))$

$(())$

Q৫. সম্পর্কগুলি থেকে θ কে অপনয়ন করি :(ii) $5x=3\sec \theta ,y=3\tan \theta$

সমাধান :

$((∵ 5 x = 3 s e c θ \Rightarrow s e c θ = \frac{5 x}{3} \Rightarrow s e c^{2} θ = {(\frac{5 x}{3})}^{2} = \frac{25 x^{2}}{9} ∴ s e c^{2} θ = \frac{25 x^{2}}{9} . . . . . . . (i)))$

আবার,

$((∵ y = 3 \tan θ \Rightarrow \tan θ = \frac{y}{3} \Rightarrow \tan^{2} θ = {(\frac{y}{3})}^{2} \Rightarrow \frac{y^{2}}{9} ∴ \tan^{2} θ = \frac{y^{2}}{9} . . . . . . . (i i)))$

(i) ও (ii) নং সমীকরণ দুটিকে বিয়োগ করে পাই,

$((s e c^{2} θ - \tan^{2} θ = \frac{25 x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} \Rightarrow 1 = \frac{25 x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} [∵ s e c^{2} θ - \tan^{2} θ = 1] ∴ \frac{25 x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (A n s w e r)))$

$((()))$

Q৬. (i) যদি $\sin \alpha =\frac{5}{13}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, $\tan \alpha +\sec \alpha =1.5$

সমাধান :

প্রদত্ত, $\sin \alpha =\frac{5}{13}$

∵ $sin \theta$

∴ ধরি, লম্ব = 5k এবং অতিভুজ = 13k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (5k)² + (ভূমি)² = (13k)²

বা, 25k² + (ভূমি)² = 169k²

বা, (ভূমি)² = 169k² − 25k²

বা, (ভূমি)² = 144k²

বা, ভূমি = $\bg_white \sqrt{144k^{2}}=12k$

∵ আমরা জানি, $tan \theta$ এবং $sec \theta$

$(((∴ \tan α = \frac{5 k}{12 k} \Rightarrow \frac{5}{12} ∴ s e c α = \frac{13 k}{12 k} \Rightarrow \frac{13}{12})))$

এখন, tanα + secα

$(((= \frac{5}{12} + \frac{13}{12} = \frac{5 + 13}{12} \Rightarrow \frac{18}{12} \Rightarrow \frac{3}{2} = 1.5 ∴ \tan α + s e c α = 1.5)))$

(প্রমানিত)

Q৬. (ii) যদি $\tan A=\frac{n}{m}$ হয়, তাহলে sinA এবং secA উভয়ের মান লিখি।

সমাধান :

প্রদত্ত, $\tan A=\frac{n}{m}$

∵ $tan \theta$

∴ ধরি, লম্ব = nk এবং ভূমি = mk

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (nk)² + (mk)² = (অতিভুজ)²

বা, n²k² + m²k² = (অতিভুজ)²

বা, (অতিভুজ)² = k²(n² + m²)

বা, অতিভুজ = $\bg_white \sqrt{k^{2}(n^{2}+m^{2})}=k\sqrt{(n^{2}+m^{2})}$

∵ আমরা জানি, $sin \theta$ এবং $sec \theta$

$∴ \sin A = \frac{n k}{k \sqrt{n^{2} + k^{2}}} \Rightarrow \frac{n}{\sqrt{n^{2} + k^{2}}} (A n s w e r) ∴ s e c α = \frac{k \sqrt{n^{2} + k^{2}}}{m k} \Rightarrow \frac{\sqrt{n^{2} + k^{2}}}{m} (A n s w e r)$

Q৬. (iii) যদি $\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, $x\sin \theta =y\cos \theta$

সমাধান :

প্রদত্ত, $\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}$

∵ $cos \theta$

∴ ধরি, ভূমি = xk এবং অতিভুজ = $\bg_white k\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (লম্ব)² + (xk)² = ( $\bg_white k\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ )²

বা, (লম্ব)² + x²k² = k²(x² + y²)

বা, (লম্ব)² = k²(x² + y²) − x²k²

বা, (লম্ব)² = k²x² + k²y² − x²k²

বা, (লম্ব)² = k²y²

বা, লম্ব = $\bg_white \sqrt{k^{2}y^{2}}=ky$

∵ আমরা জানি, $sin \theta$

$\sin θ = \frac{k y}{k \sqrt{x^{2} + y^{2}}} ∴ \sin θ = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

বামপক্ষ : x sinθ

$= x \times (\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}) [∵ \sin θ = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}] = \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} ∴ x \sin θ = \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

ডানপক্ষ : y cosθ

$= y \times (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}) [∵ \cos θ = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}] = \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} ∴ y \cos θ = \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

Q৬. (iv) যদি $\sin \alpha =\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, $\cot \alpha =\frac{2ab}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$

সমাধান :

প্রদত্ত, $\sin \alpha =\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

∵ $sin \theta$

∴ ধরি, লম্ব = (a² − b²)k এবং অতিভুজ = (a² + b²)k

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, {(a² − b²)k}² + (ভূমি)² = {(a² + b²)k}²

বা, (a² − b²)²k² + (ভূমি)² = (a² + b²)²k²

বা, (ভূমি)² = (a² + b²)²k² − (a² − b²)²k²

বা, (ভূমি)² = k²{(a² + b²)² −(a² − b²)²}

বা, (ভূমি)² = k²(4a²b²) [∵ (a + b)² −(a − b)² = 4ab]

বা, ভূমি = $\bg_white \sqrt{k^{2}(4a^{2}b^{2})}=2abk$

আমরা জানি, $cot \theta$

$∴ c o t α = \frac{2 a b k}{(a^{2} - b^{2}) k} \Rightarrow \frac{2 a b}{(a^{2} - b^{2})} \Rightarrow c o t α = \frac{2 a b}{(a^{2} - b^{2})}$

(প্রমানিত)

Q৬. (v) যদি $\frac{\sin \theta }{x}=\frac{\cos \theta }{y}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, $\sin \theta -\cos \theta =\frac{x-y}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}$

সমাধান :

ধরি,

$\frac{\sin θ}{x} = \frac{\cos θ}{y} = k ∴ \sin θ = k x \Rightarrow \sin^{2} θ = k^{2} x^{2} ∴ \cos θ = k y \Rightarrow \cos^{2} θ = k^{2} y^{2}$

আমরা জানি, sin²θ + cos²θ = 1

$\Rightarrow k^{2} x^{2} + k^{2} y^{2} = 1 \Rightarrow k^{2} (x^{2} + y^{2}) = 1 \Rightarrow k^{2} = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} ∵ \sin θ = k x ∴ \sin θ = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} [∵ k = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}] ∵ \cos θ = k y ∴ \cos θ = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} [∵ k = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}]$

বামপক্ষ :

sinθ − cosθ

sinθ ও cosθ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} - \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = \frac{x - y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

ডানপক্ষ :

$\frac{x - y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

Q৬. (vi) যদি $\left( 1+4{{x}^{2}} \right)\cos A=4x$ হয়, তাহলে দেখাই যে, $\cos \text{ec}A+\cot A\text{=}\frac{1+2x}{1-2x}$

সমাধান :

প্রদত্ত, (1 + 4x²) cosA = 4x

$∴ \cos A = \frac{4 x}{1 + 4 x^{2}}$

∵ $cos \theta$

∴ ধরি, ভূমি = 4xk এবং অতিভুজ = k(1 + 4x²)

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (লম্ব)² + (4xk)² = {k(1 + 4x²)}²

বা, (লম্ব)² + 16x²k² = k²(1 + 4x²)²

বা, (লম্ব)² = k²(1 + 4x²)² −16x²k²

বা, (লম্ব)² = k²{(1 + 4x²)² − 16x²}

বা, (লম্ব)² = k²{(1 + 4x²)² − 4.1.4x²}

$[∵ {(a + b)}^{2} - 4 a b = {(a - b)}^{2}]$

বা, (লম্ব)² = k²(1 − 4x²)²

বা, লম্ব = $\bg_white \sqrt{k^{2}\left ( 1-4x^{2} \right )^{2}}\Rightarrow k\left ( 1-4x^{2} \right )$

∵ আমরা জানি, $cosec \theta$ এবং $cot \theta$

$∴ \cos e c A = \frac{k (1 + 4 x^{2})}{k (1 - 4 x^{2})} \Rightarrow \cos e c A = \frac{1 + 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}} ∴ c o t A = \frac{4 x k}{k (1 - 4 x^{2})} \Rightarrow c o t A = \frac{4 x}{1 - 4 x^{2}}$

বামপক্ষ :

cosecA + cotA

$= \frac{(1 + 4 x^{2})}{(1 - 4 x^{2})} + \frac{4 x}{(1 - 4 x^{2})} = \frac{1 + 4 x^{2} + 4 x}{1 - 4 x^{2}} = \frac{{(1)}^{2} + 2.1.2 x + {(2 x)}^{2}}{{(1)}^{2} - {(2 x)}^{2}} = \frac{(1 + 2 x)^{2}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} [∵ a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}; a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)] = \frac{1 + 2 x}{1 - 2 x}$

cosecA ও cotA এর মান বসিয়ে পাই,

ডানপক্ষ :

$\frac{1 + 2 x}{1 - 2 x}$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)

Q৭. যদি $x=a\sin \theta$ এবং $y=b\tan \theta$ হয়, তাহলে প্রমান করি, $\frac{{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}}-\frac{{{b}^{2}}}{{{y}^{2}}}=1$

সমাধান :

$∵ x = a \sin θ \Rightarrow \sin θ = \frac{x}{a} \Rightarrow \frac{1}{\cos e c θ} = \frac{x}{a} [∵ \sin θ = \frac{1}{\cos e c θ}] \Rightarrow \cos e c θ = \frac{a}{x} \Rightarrow \cos e c^{2} θ = {(\frac{a}{x})}^{2} \Rightarrow \frac{a^{2}}{x^{2}} ∴ \cos e c^{2} θ = \frac{a^{2}}{x^{2}} . . . . . . . (i)$

আবার,

$∵ y = b \tan θ \Rightarrow \tan θ = \frac{y}{b} \Rightarrow \frac{1}{co t θ} = \frac{y}{b} [∵ \tan θ = \frac{1}{co t θ}] \Rightarrow co t θ = \frac{b}{y} \Rightarrow co t^{2} θ = {(\frac{b}{y})}^{2} \Rightarrow \frac{b^{2}}{y^{2}} ∴ co t^{2} θ = \frac{b^{2}}{y^{2}} . . . . . . . (i i)$

(i) ও (ii) নং সমীকরণ দুটিকে বিয়োগ করে পাই,

$\cos e c^{2} θ - co t^{2} θ = \frac{a^{2}}{x^{2}} - \frac{b^{2}}{y^{2}} \Rightarrow 1 = \frac{a^{2}}{x^{2}} - \frac{b^{2}}{y^{2}} [∵ \cos e c^{2} θ - c o t^{2} θ = 1] ∴ \frac{a^{2}}{x^{2}} - \frac{b^{2}}{y^{2}} = 1$

(প্রমানিত)

Q৮. যদি $\sin \theta +{{\sin }^{2}}\theta =1$ হয়, তাহলে প্রমান করি যে, ${{\cos }^{2}}\theta +{{\cos }^{4}}\theta =1$

সমাধান :

প্রদত্ত, sinθ + sin²θ = 1

$\Rightarrow \sin θ = 1 - \sin^{2} θ \Rightarrow \sin θ = \cos^{2} θ [∵ 1 - \sin^{2} θ = \cos^{2} θ] ∵ \cos^{2} θ = \sin θ$

এখন,

$\cos^{2} θ + \cos^{4} θ = \cos^{2} θ + {(\cos^{2} θ)}^{2} = \sin θ + {(\sin θ)}^{2} [∵ \cos^{2} θ = \sin θ] = \sin θ + \sin^{2} θ = 1 [∵ \sin θ + \sin^{2} θ = 1] ∴ \cos^{2} θ + \cos^{4} θ = 1$

(প্রমানিত)

Q৯. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পনীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) যদি $3x=\text{cosec}\alpha$ এবং $\frac{3}{x}=\cot \alpha$ হয়, তাহলে $\text{3}\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)$ -এর মান

(a) $\frac{1}{27}$

(b) $\frac{1}{81}$

(d) $\frac{1}{9}$

সমাধান :

আমরা জানি, cosec²α − cot²α = 1

cosecα ও cotα এর মান বসিয়ে পাই,

$\Rightarrow {(3 x)}^{2} - {(\frac{3}{x})}^{2} = 1 \Rightarrow 9 x^{2} - \frac{9}{x^{2}} = 1 \Rightarrow 9 (x^{2} - \frac{1}{x^{2}}) = 1 ∴ 3 (x^{2} - \frac{1}{x^{2}}) = \frac{1}{3} . . . . (c)$

$()$

Q৯.(A) (ii) যদি $2x=\sec A$ এবং $\frac{2}{x}=\tan A$ হয়, তাহলে $\text{2}\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)$ -এর মান

(a) $\frac{1}{2}$

(b) $\frac{1}{4}$

(d) $\frac{1}{16}$

সমাধান :

আমরা জানি, sec²A − tan²A = 1

secA ও tanA এর মান বসিয়ে পাই,

$(\Rightarrow {(2 x)}^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2} = 1 \Rightarrow 4 x^{2} - \frac{4}{x^{2}} = 1 \Rightarrow 4 (x^{2} - \frac{1}{x^{2}}) = 1 ∴ 2 (x^{2} - \frac{1}{x^{2}}) = \frac{1}{2} . . . . (a))$

$(())$

Q৯.(A) (iii) $\tan \alpha +\cot \alpha =2$ হলে, ${{\tan }^{13}}\alpha +{{\cot }^{13}}\alpha$ এর মান

(a) 1

(b) 0

(d) কোনোটিই নয়

সমাধান :

প্রদত্ত, tanα + cotα = 2

$((\Rightarrow \tan α + \frac{1}{\tan α} = 2 \Rightarrow \frac{\tan^{2} α + 1}{\tan α} = 2 \Rightarrow \tan^{2} α + 1 = 2 \tan α \Rightarrow \tan^{2} α - 2 \tan α + 1 = 0 \Rightarrow {(\tan α - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow \tan α - 1 = 0 ∵ \tan α = 1 = c o t α [∵ c o t θ = \frac{1}{\tan θ}]))$

নির্ণেয়,

$((\tan^{13} α + c o t^{13} α = {(1)}^{13} + {(1)}^{13} = 1 + 1 = 2 . . . . . (c)))$

$((()))$

Q৯.(A) (iv) যদি $\sin \theta -\cos \theta =0\left( 0{}^\circ \le \theta \le 90{}^\circ \right)$ এবং $\sec \theta +\text{cosec}\theta =x$ হয়, তাহলে $x$ এর মান

(a) 1

(b) 2

(d) $2\sqrt{2}$

সমাধান :

প্রদত্ত, sinθ − cosθ = 0

$(((\Rightarrow \sin θ = \cos θ \Rightarrow \frac{1}{c o s e c θ} = \frac{1}{s e c θ} [∵ \sin θ = \frac{1}{c o s e c θ}; \cos θ = \frac{1}{s e c θ}] ∵ \cos e c θ = s e c θ)))$

আবার আমরা জানি, sin²θ + cos²θ = 1

$(((\Rightarrow \sin^{2} θ + \sin^{2} θ = 1 [∵ \sin θ = \cos θ] \Rightarrow 2 \sin^{2} θ = 1 \Rightarrow \sin^{2} θ = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin θ = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \frac{1}{\cos e c θ} = \frac{1}{\sqrt{2}} [∵ \sin θ = \frac{1}{c o s e c θ}] ∴ \cos e c θ = \sqrt{2} ∴ s e c θ = \sqrt{2} [∵ c o s e c θ = s e c θ])))$

প্রদত্ত, secθ + cosecθ = x

$(((\Rightarrow \sqrt{2} + \sqrt{2} = x ∴ x = 2 \sqrt{2} . . . . (d))))$

$(((())))$

Q৯.(A) (v) $2\cos 3\theta =1$ হলে, $\theta$ এর মান

(a) 10°

(b) 15°

(d) 30°

সমাধান :

প্রদত্ত, 2cos3θ = 1

$((((\Rightarrow \cos 3 θ = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos 3 θ = \cos 60 ° [∵ \cos 60 ° = \frac{1}{2}] \Rightarrow 3 θ = 60 ° \Rightarrow θ = \frac{60 °}{3} \Rightarrow 20 ° ∴ θ = 20 ° . . . . (c)))))$

$((((()))))$

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) যদি $0{}^\circ \le \alpha \le 90{}^\circ$ হয়, তাহলে $\left( {{\sec }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right)$ -এর সর্বনিম্ন মান 2

সমাধান :

আমরা জানি, a sec²θ + b cos²θএর সর্বনিম্ন মান $\bg_white 2\sqrt{ab}$ যেখানে a এবং b যথাক্রমে sec²θ ও cos²θ এর সহগ।

নির্ণেয়, sec²α + cos²αরাশিমালার সর্বনিম্ন মানের ক্ষেত্রে a = 1 এবং b = 1

∴ sec²α + cos²α রাশিমালার সর্বনিম্ন মান $\bg_white 2\sqrt{ab}\Rightarrow 2\sqrt{1\times 1}=2$

$((((()))))$

অর্থাৎ, প্রদত্ত উক্তিটি সত্য।

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(ii) $\left( \cos 0{}^\circ \times \cos 1{}^\circ \times \cos 2{}^\circ \times \cos 3{}^\circ \times .....\cos 90{}^\circ \right)$ এর মান 1

সমাধান :

$\cos 0 ° \times \cos 1 ° \times \cos 2 ° \times . . . . \times \cos 90 ° = \cos 0 ° \times \cos 1 ° \times \cos 2 ° \times . . . . \times (0) [∵ \cos 90 ° = 0] = 0$

অর্থাৎ, প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।

(i) $\left( \frac{4}{{{\sec }^{2}}\theta }+\frac{1}{1+{{\cot }^{2}}\theta }+3{{\sin }^{2}}\theta \right)$ – এর মান _________ ।

সমাধান :

$\frac{4}{s e c^{2} θ} + \frac{1}{1 + c o t^{2} θ} + 3 \sin^{2} θ = 4 \cos^{2} θ + \frac{1}{c o s e c^{2} θ} + 3 \sin^{2} θ [∵ \frac{1}{s e c θ} = \cos θ; c o s e c^{2} θ = 1 + c o t^{2} θ] = 4 \cos^{2} θ + \sin^{2} θ + 3 \sin^{2} θ [∵ \frac{1}{c o s e c θ} = \sin θ] = 4 \cos^{2} θ + 4 \sin^{2} θ = 4 (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) = 4 \times 1 [∵ \cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1] = 4 ∴ \frac{4}{s e c^{2} θ} + \frac{1}{1 + c o t^{2} θ} + 3 \sin^{2} θ = 4 (A n s w e r)$

$()$

(ii) $\sin \left( \theta -30{}^\circ \right)=\frac{1}{2}$ হলে, $cos\theta$ – এর মান _________ ।

সমাধান :

$(\sin (θ - 30 °) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin (θ - 30 °) = \sin 30 ° [∵ \sin 30 ° = \frac{1}{2}] \Rightarrow θ - 30 ° = 30 ° \Rightarrow θ = 30 ° + 30 ° \Rightarrow 60 ° ∴ θ = 60 ° \cos θ = \cos 60 ° = \frac{1}{2} ∴ \cos θ = \frac{1}{2} (A n s w e r))$

$(())$

(iii) ${{\cos }^{2}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta =\frac{1}{2}$ হলে, ${{\cos }^{4}}\theta -{{\sin }^{4}}\theta$ এর মান _________ ।

সমাধান :

$((\cos^{4} θ - \sin^{4} θ = {(\cos^{2} θ)}^{2} - {(\sin^{2} θ)}^{2} = (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ) [∵ a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)] = (1) \times (\frac{1}{2}) \Rightarrow \frac{1}{2} [∵ \cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1; \cos^{2} θ - \sin^{2} θ = \frac{1}{2}] ∴ \cos^{4} θ - \sin^{4} θ = \frac{1}{2} (a n s w e r)))$

$((()))$

Q১০. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(i) যদি $r\cos \theta =2\sqrt{3},r\sin \theta =2$ এবং $0{}^\circ <\theta <90{}^\circ$ হয়, তাহলে $r$ ও $\theta$ এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

$r \cos θ = 2 \sqrt{3}$

বর্গ করে পাই,

$\Rightarrow {(r \cos θ)}^{2} = {(2 \sqrt{3})}^{2} \Rightarrow r^{2} \cos^{2} θ = 4 \times 3 \Rightarrow 12 ∴ r^{2} \cos^{2} θ = 12 . . . . (i)$ $r \sin θ = 2$

বর্গ করে পাই,

$\Rightarrow {(r \sin θ)}^{2} = {(2)}^{2} \Rightarrow r^{2} \sin^{2} θ = 4 ∴ r^{2} \sin^{2} θ = 4 . . . . (i i)$

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ = 12 + 4 \Rightarrow r^{2} (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) = 16 \Rightarrow r^{2} \times 1 = 16 [∵ \cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1] \Rightarrow r = \sqrt{16} \Rightarrow 4 ∴ r = 4 (A n s w e r)$

আমরা জানি, rsinθ = 2

$\Rightarrow 4 \times \sin θ = 2 [∵ r = 4] \Rightarrow \sin θ = \frac{2}{4} \Rightarrow \frac{1}{2} \Rightarrow \sin θ = \sin 30 ° [∵ \sin 30 ° = \frac{1}{2}] ∴ θ = 30 ° (A n s w e r)$

$()$

Q১০. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(ii) যদি $\sin A+\sin B=2$ হয়, যেখানে $0{}^\circ \le A\le 90{}^\circ$ এবং $0{}^\circ \le B\le 90{}^\circ$ তাহলে $\left( \cos A+\cos B \right)$ এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

∵ আমরা জানি, sinθ এর সর্বোচ্চ মান 1 , যেখানে θ = 90°

∴ sinA + sinB = 2 সম্ভব হবে যদি sinA = sinB = 1 হয়।

অর্থাৎ, A = B = 90º

সুতরাং, cosA = cosB = cos90º = 0

নির্ণেয়, cosA + cosB

= 0 + 0

$()$

= 0 (Answer)

Q১০. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iii) যদি $0{}^\circ <\theta <90{}^\circ$ হয়, তাহলে $\left( 9{{\tan }^{2}}\theta +4{{\cot }^{2}}\theta \right)$ -এর সর্বনিন্ম মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

আমরা জানি, a tan²θ + b cot²θএর সর্বনিম্ন মান $\bg_white 2\sqrt{ab}$ যেখানে a এবং b যথাক্রমে tan²θ ও cot²θ এর সহগ।

নির্ণেয়, 9 tan²θ +4 cot²θ রাশিমালার সর্বনিম্ন মানের ক্ষেত্রে a = 9 এবং b = 4

∴ 9 tan²θ +4 cot²θ রাশিমালার সর্বনিম্ন মান $\bg_white 2\sqrt{ab}\Rightarrow 2\sqrt{9\times 4}\Rightarrow 2\times 3\times 2=12$ (Answer)

Q১০. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iv) $\left( {{\sin }^{6}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha +3{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha \right)$ -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

$(\sin^{6} α + \cos^{6} α + 3 \sin^{2} α \cos^{2} α) = {(\sin^{2} α)}^{3} + {(\cos^{2} α)}^{3} + 3 \sin^{2} α \cos^{2} α = [{(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}^{3} - 3 \sin^{2} α \cos^{2} α (\sin^{2} α + \cos^{2} α)] + 3 \sin^{2} α \cos^{2} α [∵ a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)] = {(1)}^{3} - 3 \sin^{2} α \cos^{2} α (1) + 3 \sin^{2} α \cos^{2} α [∵ \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1] = 1 - 3 \sin^{2} α \cos^{2} α + 3 \sin^{2} α \cos^{2} α = 1 (A n s w e r)$

$()$

Q১০. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(v) যদি $\text{cose}{{\text{c}}^{\text{2}}}\theta =2\cot \theta$ এবং $0{}^\circ <\theta <90{}^\circ$ হয়, তাহলে $\theta$ এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

$(\cos e c^{2} θ = 2 c o t θ \Rightarrow (1 + c o t^{2} θ) = 2 c o t θ [∵ \cos e c^{2} θ - c o t^{2} θ = 1] \Rightarrow c o t^{2} θ - 2 c o t θ + 1 = 0 \Rightarrow [{(c o t θ)}^{2} - 2 \times c o t θ \times 1 + {(1)}^{2}] = 0 \Rightarrow {(c o t θ - 1)}^{2} = 0 [∵ a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}] \Rightarrow c o t θ - 1 = 0 \Rightarrow c o t θ = 1 \Rightarrow c o t θ = c o t 45^{°} [∵ c o t 45^{°} = 1] ∴ θ = 45^{°} (A n s w e r))$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি :- কষে দেখি - ২৩.৩