ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি :- কষে দেখি - ২৩.১

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি

কষে দেখি :- ২৩.১

Q১. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছি যার অতিভুজ AB = 10 সেমি., ভূমি BC = 8 সেমি. এবং লম্ব AC = 6 সেমি.। $\large \angle ABC$ এর Sine এবং Tangent -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

∵ আমরা জানি, $sin \theta$

$∴ \sin ∠ A B C = \frac{6}{10} \Rightarrow \frac{3}{5} \Rightarrow \sin ∠ A B C = \frac{3}{5} (A n s w e r)$

∵ আমরা জানি, $tan \theta$

$∴ \tan ∠ A B C = \frac{6}{8} \Rightarrow \frac{3}{4} \Rightarrow \tan ∠ A B C = 3$

Q২. সোমা একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছে যার $\large \angle ABC=90^{\circ},AB=24$ সেমি এবং BC = 7 সেমি। হিসাব করেsinA, cosA, tanA ও cosecA – এর মান লিখি।

সমাধান :

∵ $\bg_white \angle ABC=90 \degree$

∴ অতিভুজ = AC

কোণ A এর সাপেক্ষে, লম্ব = BC = 7 সেমি., ভূমি = AB = 24 সেমি.

পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,

(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

বা, (BC)² + (AB)² = (AC)²

বা, (7)² + (24)² = (AC)²

বা, 49 + 576 = (AC)²

বা, (AC)² = 625

বা, AC = $\bg_white \bg_white \sqrt{625}\Rightarrow 25$ সেমি.

∵ $sin \theta$

∴ \sin A = \frac{B C}{A C} \Rightarrow \sin A = \frac{7}{25} (A n s w e r)

∵ $cos \theta$

∴ \cos A = \frac{A B}{A C} \Rightarrow \cos A = \frac{24}{25} (A n s w e r)

∵ $tan \theta$

∴ \tan A = \frac{B C}{A B} \Rightarrow \tan A = \frac{7}{24} (A n s w e r)

∵ $cosec \theta$

∴ c o s e c A = \frac{A C}{B C} \Rightarrow c o s e c A = \frac{25}{7 Answer}

Q৩. যদি ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের একক এবং AB = 29 একক হয়, তাহলে sinA, cosA, sinB ও cosB – এর মান নির্ণয় করি।সমাধান :∵∴  অতিভুজ = AB = 29 সেমি.কোণ A এর সাপেক্ষে,  লম্ব = BC = 21 সেমি., ভূমি = AC = ?পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²বা, (BC)² + (AC)² = (AB)²বা, (21)² + (AC)² = (29)²বা, 441 + (AC)² = 841বা, (AC)² = 841 − 441(AC)² = 400বা, AC = সেমি.এখন, অতিভুজ = AB = 29 সেমি. এবং কোণ A এর সাপেক্ষে,  লম্ব = BC = 21 সেমি., ভূমি = AC = 20 সেমি.∵∴ \sin A = \frac{B C}{A B} \Rightarrow \sin A = \frac{21}{29} (A n s w e r)∵∴ \cos A = \frac{A C}{A B} \Rightarrow \cos A = \frac{20}{29} (A n s w e r)আবার, অতিভুজ = AB = 29 সেমি. এবং কোণ B এর সাপেক্ষে,  লম্ব = AC = 20 সেমি., ভূমি = BC = 21 সেমি.∵∴ \sin B = \frac{A C}{A B} \Rightarrow \sin B = \frac{20}{29} (A n s w e r)∵∴ \cos B = \frac{B C}{A B} \Rightarrow \cos B = \frac{21}{29} (A n s w e r)()Q৪. যদি হয়, তাহলে θ কোণের সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান নির্ণয় করি।সমাধান :প্রদত্ত,∵∴ ধরি, ভূমি = 7 k এবং  অতিভুজ = 25k()পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²বা, (লম্ব)² + (7k)² = (25k)²বা, (লম্ব)² + 49 k² = 625 k²বা, (লম্ব)² = 625 k² − 49 k²বা, (লম্ব)² = 576 k²বা, লম্ব =∵ আমরা জানি,∴ \sin θ = \frac{24 k}{25 k} \Rightarrow \sin θ = \frac{24}{25} Answer∵ আমরা জানি,∴ c o s e c θ = \frac{25 k}{24 k} \Rightarrow c o s e c θ = \frac{25}{24} (A n s w e r)∵ আমরা জানি,∴ s e c θ = \frac{25 k}{7 k} \Rightarrow s e c θ = \frac{25}{7} (A n s w e r)∵ আমরা জানি,∴ \tan θ = \frac{24 k}{7 k} \Rightarrow \tan θ = \frac{24}{7} (A n s w e r)∵ আমরা জানি,∴ c o t θ = \frac{7 k}{24 k} \Rightarrow c o t θ = \frac{7}{24} (A n s w e r)()Q৫. যদি cotθ = 2 হয়, তাহলে tanθ ও secθ -এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই 1 + tan²θ = sec²θ .সমাধান :প্রদত্ত, cotθ = 2∵∴ ধরি, ভূমি = 2k এবং লম্ব = k()পিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²বা, (k)² + (2k)² = (অতিভুজ)²বা, k² + 4k² = (অতিভুজ)²বা, (অতিভুজ)² = 5k²বা, অতিভুজ =∵ আমরা জানি,∴ \tan θ = \frac{k}{2 k} \Rightarrow \frac{1}{2} \Rightarrow \tan θ = \frac{1}{2} (A n s w e r)∵ আমরা জানি,∴ s e c θ = \frac{k \sqrt{5}}{2 k} \Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{2} \Rightarrow s e c θ = \frac{\sqrt{5}}{2} (A n s w e r)বামপক্ষ :1 + tan²θ= 1 + {(\frac{1}{2})}^{2} [∴ \tan θ = \frac{1}{2}] = 1 + \frac{1}{4} = \frac{4 + 1}{4} = \frac{5}{4}ডানপক্ষ :sec²θ= {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2} = \frac{5}{4}বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)Q৬. cosθ = 0.6 হলে, দেখাই যে 5 sinθ − 3 tanθ = 0.সমাধান :প্রদত্ত, cosθ = 0.6∵∴ ধরি, ভূমি = 3 k এবং  অতিভুজ = 5kপিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²বা, (লম্ব)² + (3k)² = (5k)²বা, (লম্ব)² + 3 ²k² = 25 k²বা, (লম্ব)² = 25 k² − 9k²বা, (লম্ব)² = 16 k²বা, লম্ব =∵ আমরা জানি,∴ \sin θ = \frac{4 k}{5 k} \Rightarrow \sin θ = \frac{4}{5}∵ আমরা জানি,∴ t a n θ = \frac{4}{3} \Rightarrow \tan θ = \frac{4}{3} 5 \sin θ - 3 \tan θ = 5 \times \frac{4}{5} - 3 \times \frac{4}{3} = 4 - 4 = 0(প্রমানিত)Q৭. যদি হয়, তাহলে cosA এবং cosecA এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে 1 + cot²A = cosec²A .সমাধান :প্রদত্ত,∵∴ ধরি, ভূমি = 8k এবং লম্ব = 15kপিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²বা, (15k)² + (8k)² = (অতিভুজ)²বা, 225 k² + 64k² = (অতিভুজ)²বা, (অতিভুজ)² = 289k²বা, অতিভুজ =∵ আমরা জানি,∴ \cos A = \frac{8 k}{17 k} \Rightarrow \cos A = \frac{8}{17} (A n s w e r)এবং∴ c o s e c A = \frac{17 k}{15 k} \Rightarrow \cos e c A = \frac{17}{15} (A n s w e r) ∴ c o t A = \frac{8 k}{15 k} \Rightarrow c o t A = \frac{8}{15}বামপক্ষ :1 + cot²A= 1 + {(\frac{8}{15})}^{2} [∵ c o t A = \frac{8}{15}] = 1 + \frac{64}{225} = \frac{225 + 64}{225} = \frac{289}{225}ডানপক্ষ :cosec²A= {(\frac{17}{15})}^{2} [∵ c o s e c A = \frac{17}{15}] = \frac{289}{225}বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমানিত)Q৮. যদি হয়, তবে cosC × cosecC -এর মান হিসাব করে লিখি।সমাধান :প্রদত্ত,∵ধরি,  লম্ব = 2k এবং অতিভুজ = 3kপিথাগোরাসের সমীকরণ অনুযায়ী,(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²বা, (2k)² + (ভূমি)² = (3k)²বা, 4 k² + (ভূমি)² = 9k²বা, (ভূমি)² = 9k² − 4k²বা, (ভূমি)² = 5k²বা, ভূমি =আমরা জানি, ∵∴ \cos C = \frac{k \sqrt{5}}{3 k} \Rightarrow \cos C = \frac{\sqrt{5}}{3}আমরা জানি, ∵∴ c o s e c C = \frac{3 k}{2 k} \Rightarrow \cos e c C = \frac{3}{2}এখন, নির্ণেয়, cosC × cosecC= \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} ∴ \cos C \times \cos e c C = \frac{\sqrt{5}}{2} (A n s w e r)()Q৯. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।(i) tanA -এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা বড়ো।সমাধান :প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা ।কারণ :∵()সুতরাং, যখন লম্ব > ভূমি হবে, তখন tanA এর মান  1  অপেক্ষা বড়ো হবে।

যখন লম্ব = ভূমি হবে, তখন tanA এর মান 1 এর সমান হবে।

যখন লম্ব < ভূমি হবে, তখন tanA এর মান 1 অপেক্ষা ছোট হবে।

∵ tanA -এর মান 1 এর সমান, বড়ো বা ছোট হতে পারে।

∴ প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।

Q৯. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(ii) cotA -এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা ছোটো।

সমাধান :

প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।

কারণ :

∵ $cot \theta$

সুতরাং, যখন ভূমি > লম্ব হবে, তখন cotA এর মান 1 অপেক্ষা বড়ো হবে।

যখন ভূমি = লম্ব হবে, তখন cotA এর মান 1 এর সমান হবে।

যখন ভূমি < লম্ব হবে, তখন cotA এর মান 1 অপেক্ষা ছোট হবে।

∵ cotA -এর মান 1 এর সমান, বড়ো বা ছোট হতে পারে।

∴ প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।

Q৯. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(iii) একটি কোণ θ এর জন্য $sin\theta =\frac{4}{3}$ হতে পারে।

সমাধান :

প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।

কারণ :

∵ $sin \theta$ এবং কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজইহলো সবচেয়ে বড়ো বাহু।

∴ sinθ এর মান 1 অপেক্ষা ছোটকিন্তু প্রদত্ত $sin\theta =\frac{4}{3}$ অর্থাৎ 1 অপেক্ষা বড়ো।

সুতরাং, প্রদত্ত উক্তিটি কোণ θ এর জন্য মিথ্যা।

Q৯. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(iv) একটি কোণ α এর জন্য $sec\alpha =\frac{12}{5}$ হতে পারে।

সমাধান :

প্রদত্ত উক্তিটি সত্য।

কারণ :

∵ $sec \theta$ এবং কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজইহলো সবচেয়ে বড়ো বাহু।

∴ secθ এর মান 1 অপেক্ষা বড়োএবং প্রদত্ত $sec\alpha =\frac{12}{5}$ অর্থাৎ 1 অপেক্ষা বড়ো।

সুতরাং, প্রদত্ত উক্তিটি কোণ α এর জন্য সত্য।

Q৯. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(v) একটি কোণ β(Beta) এর জন্য $cosec\beta =\frac{5}{13}$ হতে পারে।

সমাধান :

প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।

কারণ :

∵ $cosec \theta$ এবং কোন সমকোণী ত্রিভুজেরঅতিভুজই হলো সবচেয়ে বড়ো বাহু।

∴ cosecβ এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা বড়ো কিন্তু প্রদত্ত $cosec\beta =\frac{5}{13}$ অর্থাৎ 1 অপেক্ষা ছোট।

সুতরাং, প্রদত্ত উক্তিটি কোণ β এর জন্য মিথ্যা।

Q৯. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(vi) একটি কোণ θ এর জন্য $cos\theta =\frac{3}{5}$ হতে পারে।

সমাধান :

প্রদত্ত উক্তিটি সত্য।

কারণ :

∵ $cos \theta$ এবং কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজইহলো সবচেয়ে বড়ো বাহু।

∴ cosθ এর মান 1 অপেক্ষা ছোটএবং প্রদত্ত $cos\theta =\frac{3}{5}$ অর্থাৎ 1 অপেক্ষা ছোট।

সুতরাং, প্রদত্ত উক্তিটি কোণ θ এর জন্য সত্য।

Post a Comment

0 Comments