একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ :- কষে দেখি

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

কষে দেখি - ১.১

Q১. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি / কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।

(i) ${{x}^{2}}-7x+2$

সমাধান

$\because$ প্রদত্ত সংখ্যামালাটি $ax^{^{2}}+bx+c$ আকারে লেখা যায়, যেখানে $x$ হলো চলসংখ্যা এবং $a,b,c\left ( a\neq 0 \right )$ হলো বাস্তব সংখ্যা।

∴ ${{x}^{2}}-7x+2$ সংখ্যামালাটি একটি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী (ত্রিপদী) সংখ্যামালা।

(ii) $7x^{5}-x\left ( x+2 \right )$

সমাধান

$7x^{5}-x\left ( x+2 \right )$

$\Rightarrow 7x^{5}-x^{2}-2x$

$\because$ প্রদত্ত সংখ্যামালাটি $ax^{^{2}}+bx+c$ আকারে লেখা যায় না, যেখানে $x$ হলো চলসংখ্যা এবং $a,b,c\left ( a\neq 0 \right )$ হলো বাস্তব সংখ্যা।

∴ $7x^{5}-x\left ( x+2 \right )$ সংখ্যামালাটি একটি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

( $7x^{5}-x\left ( x+2 \right )$ সংখ্যামালাটি একটি একচল বিশিষ্ট পঞ্চঘাত বহুপদী (ত্রিপদী) সংখ্যামালা)

(iii) $2x\left ( x+5 \right )+5$

সমাধান

$2x\left ( x+5 \right )+5$

$\Rightarrow 2x^{2}+10x+5$

∴ $2x\left ( x+5 \right )+5$ সংখ্যামালাটি একটি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী (ত্রিপদী) সংখ্যামালা।

(iv) $2x-1$

সমাধান

∴ $2x-1$ সংখ্যামালাটি একটি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

( $2x-1$ সংখ্যামালাটি একটি একচল বিশিষ্ট একঘাত বহুপদী (দ্বিপদী) সংখ্যামালা)

Q২. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি $ax^{2}+bx+c=0$ , যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং $a\neq 0,$ আকারে লেখা যায় তা লিখি।

(i) $x-1+\frac{1}{x}=6,\left ( x\neq 0 \right )$

সমাধান

$x-1+\frac{1}{x}=6,\left ( x\neq 0 \right )$

বা, $\frac{x^{2}-x+1}{x}=6$

বা, $x^{2}-x+1=6x$

বা, $x^{2}-7x+1=0$

এটি একটি একচল বিশিষ্টদ্বিঘাত সমীকরণ।

∴ $x-1+\frac{1}{x}=6,\left ( x\neq 0 \right )$ সমীকরণটিকে $ax^{^{2}}+bx+c$ আকারে লেখা যায় [যেখানে, a, b, c বাস্তব সংখ্যা, a ≠ 0]

(ii) $x+\frac{3}{x}=x^{2},\left ( x\neq 0 \right )$

সমাধান

$x+\frac{3}{x}=x^{2},\left ( x\neq 0 \right )$

বা, $\frac{x^{2}+3}{x}=x^{2}$

বা, $x^{2}+3=x^{3}$

বা, $x^{3}-x^{2}-3=0$

এটি একটি একচল বিশিষ্ট ত্রিঘাতসমীকরণ।

∴ $x+\frac{3}{x}=x^{2},\left ( x\neq 0 \right )$ সমীকরণটিকে $ax^{^{2}}+bx+c$ আকারে লেখা যায় না[যেখানে, a, b, c বাস্তব সংখ্যা, a ≠ 0]

(iii) $x^{2}-6\sqrt{x}+2=0$

সমাধান

$x^{2}-6\sqrt{x}+2=0$

বা, $x^{2}+2=6\sqrt{x}$

বর্গ করে পাই,

বা, $\left (x^{2}+2 \right )^{2}=\left (6\sqrt{x} \right )^{2}$

বা, $x^{4}+4x^{2}+4=36x$

বা, $x^{4}+4x^{2}-36x+4=0$

এটি একটি একচল বিশিষ্টচারঘাত সমীকরণ।

∴ $x^{2}-6\sqrt{x}+2=0$ সমীকরণটিকে $ax^{^{2}}+bx+c$ আকারে লেখা যায় না[যেখানে, a, b, c বাস্তব সংখ্যা, a ≠ 0]

(iv) $\left ( x-2 \right )^{2}=x^{2}-4x+4$

সমাধান

$\left ( x-2 \right )^{2}=x^{2}-4x+4$

বা, $x^{2}-4x+4=x^{2}-4x+4$

বা, $x^{2}-4x+4-x^{2}+4x-4=0$

বা, 0 = 0

এটি একটি অভেদ হওয়ায়, সমীকরণটিকে $ax^{^{2}}+bx+c$ আকারে লেখা যায় না। [যেখানে, a, b, c বাস্তব সংখ্যা, a ≠ 0]

Q৩. $x^{6}-x^{3}-2=0$ সমীকরণটির চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।

সমাধান

$x^{6}-x^{3}-2=0$

বা, $\left ( x^{3} \right )^{2}-x^{3}-2=0$

বা, $y^{2}-y-2=0$ [ ধরি, ${\color{Blue} x^{3}=y}$ ]

এই সমীকরণটি $ax^{^{2}}+bx+c$ আকারে লেখা যায়। [ যেখানে, $x^{3}=y$ ]

∴ $x^{6}-x^{3}-2=0$ সমীকরণটি $x$ এরত্রিঘাত (3) এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

Q৪.

(i) $\left( a-2 \right){{x}^{2}}+3x+5=0$ সমীকরণটি $a$ এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।

সমাধান

$\left( a-2 \right){{x}^{2}}+3x+5=0$ সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না, যদি $\left (a-2 \right )=0$ হয়।

অর্থাৎ, $a=2$ (Answer)

(ii) $\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}$ -কে $ax^{2}+bx+c=0\; \left ( a\neq 0 \right )$ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে $x$ এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।

সমাধান

$\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}$

বা, $3x^{2}=4-x$

বা, $3x^{2}+x-4=0$

∴ এই সমীকরণটি থেকে দেখা যাচ্ছে যে, $x$ - এর সহগ 1 (Answer).

(iii) $3{{x}^{2}}+7x+23=\left( x+4 \right)\left( x+3 \right)+2$ -কে $ax^{2}+bx+c=0\; \left ( a\neq 0 \right )$ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি।

সমাধান

$3{{x}^{2}}+7x+23=\left( x+4 \right)\left( x+3 \right)+2$

বা, $3{{x}^{2}}+7x+23=x^{2}+3x+4x+12+2$

বা, $3{{x}^{2}}+7x+23-x^{2}-7x-14=0$

বা, $2x^{2}+9=0$

বা, $2x^{2}+0.x+9=0$

(iv) $\left ( x+2 \right )^{3}=x\left ( x^{2}-1 \right )$ -কে $ax^{2}+bx+c=0\; \left ( a\neq 0 \right )$ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং $x^{2},x$ ও $x^{0}$ -এর সহগ লিখি।

সমাধান

$\left ( x+2 \right )^{3}=x\left ( x^{2}-1 \right )$

বা, $x^{3}+6x^{2}+12x+8=x^{3}-x$

বা, $x^{3}+6x^{2}+12x+8-x^{3}+x=0$

বা, $6x^{2}+13x+8=0$

এই সমীকরণটি থেকে দেখা যাচ্ছে যে,

$x^{2}$ -এর সহগ 6. (Answer)

$x$ -এর সহগ 13. (Answer)

$x^{0}$ -এর সহগ 8. (Answer)

[Note: ${\color{Blue} \mathbf{x^{0}}}$ -এর সহগ সর্বদা ${\color{Blue} \textbf{x}}$ বর্জিত পদটি হবে। ]

Q৫. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42 কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।

সমাধান

ধরি, একটি অংশের পরিমান হলো $x$
∴ অপর অংশের পরিমান হবে $\left ( 42-x \right )$

∴ প্রশ্নানুযায়ী, একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

$x^{2}=\left ( 42-x \right )$

বা, $x^{2}+x-42=0$

(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্বক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143.

সমাধান

ধরি, $\left ( 2x+1 \right )$ ও $\left ( 2x+3 \right )$ হলো দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা।

∴ প্রশ্নানুযায়ী, একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

$\left ( 2x+1 \right )$ × $\left ( 2x+3 \right )$ = 143

বা, $4x^{2}+6x+2x+3-143=0$

বা, $4x^{2}+8x-140=0$

বা, $4\left ( x^{2}+2x-35 \right )=0$

বা, $\left ( x^{2}+2x-35 \right )=\frac{0}{4}=0$

(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313.

সমাধান

ধরি, $x$ ও $\left ( x+1 \right )$ হলো দুটি ক্রমিক সংখ্যা।

∴ প্রশ্নানুযায়ী, একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

$x^{2}+\left ( x+1 \right )^{2}=313$

বা, $x^{2}+x^{2}+2x+1=313$

বা, $2x^{2}+2x+1-313=0$

বা, $2x^{2}+2x-312=0$

বা, $2\left (x^{2}+x-156 \right )=0$

বা, $\left (x^{2}+x-156 \right )=\frac{0}{2}=0$

Q৬. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।

(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।

সমাধান

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $x$ মিটার।
∴ দৈর্ঘ্য $\left ( x+3 \right )$ মিটার।

প্রদত্ত,

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 15

∴ (দৈর্ঘ্য )² + (প্রস্থ)² = (কর্ণ)²

$\Rightarrow \left ( x+3 \right )^{2}+x^{2}=15^{2}$

বা, $x^{2}+6x+9+x^{2}=225$

বা, $2x^{2}+6x+9-225=0$

বা, $2\left (x^{2}+3x-108 \right )=0$

বা, $\left (x^{2}+3x-108 \right )=\frac{0}{2}=0$

এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ। (Answer)

(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কেজি চিনি ক্রয় করলেন । যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।

সমাধান

ধরি, চিনির প্রকৃত মূল্য $x$ টাকা/কিগ্রা.।

∴ চিনির দাম প্রতি কিগ্রা. তে 1 টাকা কমলে চিনির মূল্য হবে $\left ( x-1 \right )$ টাকা/কিগ্রা.।

$x$ টাকা/কিগ্রা. দরে 80 টাকায় চিনি পাওয়া যাবে $\frac{80}{x}$ কিগ্রা. এবং

$\left ( x-1 \right )$ টাকা/কিগ্রা. দরে 80 টাকায় চিনি পাওয়া যাবে $\frac{80}{x-1}$ কিগ্রা.

$\because \frac{80}{\left ( x-1 \right )}>\frac{80}{x}$

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{80}{\left ( x-1 \right )}-\frac{80}{x}=4$

বা, $\frac{80x-80x+80}{x\left ( x-1 \right )}=4$

বা, $\frac{80}{x^{2}-x}=4$

বা, $\frac{4\times 20}{x^{2}-x}=4$

বা, $\frac{20}{x^{2}-x}=1$

বা, $x^{2}-x=20$

বা, $x^{2}-x-20=0$

এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ। (Answer)

(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘন্টা কম সময় লাগত।

সমাধান

ধরি, ট্রেনটির প্রকৃত গতিবেগ $x$ কিমি./ঘণ্টা।

এখন, গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির গতিবেগ হবে $\left ( x+5 \right )$ কিমি./ঘণ্টা।

$\because$ সময় = ( দূরত্ব ÷ গতিবেগ )

∴ $x$ কিমি./ঘণ্টা গতিবেগে ট্রেনটি গেলে 300 কিমি. দূরত্ব যেতে সময় লাগবে = $\frac{300}{x}$ ঘণ্টা, এবং

$\left ( x+5 \right )$ কিমি./ঘণ্টা গতিবেগে ট্রেনটি গেলে 300 কিমি. দূরত্ব যেতে সময় লাগবে = $\frac{300}{\left (x+5 \right )}$ ঘণ্টা।

$\because$ $\frac{300}{x}$ > $\frac{300}{\left (x+5 \right )}$

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{300}{x}-\frac{300}{\left ( x+5 \right )}=2$

বা, $\frac{300x+1500-300x}{x\left ( x+5 \right )}=2$

বা, $\frac{2\times 750}{x^{2}+5x}=2$

বা, $\frac{750}{x^{2}+5x}=1$

বা, $x^{2}+5x=750$

বা, $x^{2}+5x-750=0$

এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ। (Answer)

(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হলো।

সমাধান

ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য $x$ টাকা।

প্রদত্ত, ঘড়িটির বিক্রয়মূল্য = 336 টাকা।

$\because$ লাভের পরিমান = (বিক্রয়মূল্য − ক্রয়মূল্য)

⇒ লাভের পরিমান = (336 − $x$ ) টাকা।

$\because$ শতকরা লাভের পরিমান = (লাভ ÷ ক্রয়মূল্য) × 100 %

∴ শতকরা লাভের পরিমান = $\frac{\left ( 336-x \right )}{x}\times 100$

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{\left ( 336-x \right )}{x}\times 100$ = $x$

বা, $33600-100x=x^{2}$

বা, $x^{2}+100x-33600=0$

এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ। (Answer)

(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি. হলে, রতন মাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আস্তে 10 ঘন্টা সময় লাগে।

সমাধান

ধরি, স্থির জলে রতন মাঝির নৌকার গতিবেগ $x$ কিমি./ঘন্টা।

$\because$ প্রদত্ত, স্রোতের বেগ 2 কিমি./ঘন্টা।

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার গতিবেগ $\left ( x+2 \right )$ কিমি./ঘন্টা এবং

স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতিবেগ $\left ( x-2 \right )$ কিমি./ঘন্টা।

$\because$ সময় = ( দূরত্ব ÷ গতিবেগ )

∴ $\left ( x+2 \right )$ কিমি./ঘন্টা বেগে 21 কিমি. যেতে সময় লাগবে = $\frac{21}{x+2}$ ঘণ্টা এবং

$\left ( x-2 \right )$ কিমি./ঘন্টা বেগে 21 কিমি. যেতে সময় লাগবে = $\frac{21}{x-2}$ ঘণ্টা।

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{21}{x+2}$ + $\frac{21}{x-2}$ = $10$

বা, $\frac{21\left ( x-2 \right )+21\left ( x+2 \right )}{\left ( x+2 \right )\left ( x-2 \right )}=10$

বা, $\frac{21x-42+21x+42}{x^{2}+2x-2x-4}=10$

বা, $\frac{42x}{x^{2}-4}=10$

বা, $10x^{2}-40=42x$

বা, $5x^{2}-20=21x$

বা, $5x^{2}-21x-20=0$

এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ। (Answer)

(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘন্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘন্টায় শেষ করতে পারে।

সমাধান

ধরি, একা মহিমের সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করতে $x$ ঘণ্টা লাগে।

∴ একা মজিদের সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করতে $\left ( x+3 \right )$ ঘণ্টা লাগবে।

এখন, 2 ঘণ্টায়, মহিম কাজটির $\frac{2}{x}$ অংশ সম্পূর্ণ করে, এবং

2 ঘণ্টায়, মজিদ কাজটির $\frac{2}{\left ( x+3 \right )}$ অংশ সম্পূর্ণ করে।

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{2}{x}$ + $\frac{2}{\left ( x+3 \right )}$ = $1$ ( $\because$ সম্পূর্ণ কাজের পরিমান = 1 অংশ)

বা, $\frac{2x+6+2x}{x\left ( x+3 \right )}=1$

বা, $\frac{4x+6}{x^{2}+3x}=1$

বা, $4x+6=x^{2}+3x$

বা, $x^{2}+3x-4x-6=0$

বা, $x^{2}-x-6=0$

এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ। (Answer)

(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বযের গুনফল সংখ্যাটির চেযে 12 কম।

সমাধান

ধরি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্কটি হলো $x$

∴ একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে $\left ( x+6 \right )$ .

$\because$ দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা = ( 10 × দশক স্থানীয় অঙ্ক ) + ( 1 × একক স্থানীয় অঙ্ক )

∴ সংখ্যাটি হলো = $10x+\left ( x+6 \right )$

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$x\left ( x+6 \right )=10x+\left ( x+6 \right )-12$

বা, $x^{2}+6x=10x+x+6-12$

বা, $x^{2}+6x-11x+6=0$

বা, $x^{2}-5x+6=0$

এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ। (Answer)

(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।

সমাধান

ধরি, রাস্তাটি $x$ মিটার চওড়া।

∴ রাস্তা সমেত আয়তকার মাঠের দৈর্ঘ্য = $\left ( 45+2x \right )$ মিটার এবং

রাস্তা সমেত আয়তকার মাঠের প্রস্থ = $\left ( 40+2x \right )$ মিটার।

$\because$ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

∴ রাস্তা বাদে আয়তকার মাঠের ক্ষেত্রফল = 45 × 40 বর্গমিটার।

∴ রাস্তা সমেত আয়তকার মাঠের ক্ষেত্রফল = $\left ( 45+2x \right )$ × $\left ( 40+2x \right )$ বর্গমিটার।

∴ প্রশ্নানুযায়ী, রাস্তার ক্ষেত্রফল = 450 বর্গ মিটার

∴ $\left ( 45+2x \right )$ × $\left ( 40+2x \right )$ - 45 × 40 = 450

বা, $1800+90x+80x+4x^{2}-1800-450=0$

বা, $4x^{2}+170x-450=0$

বা, $2\left (2x^{2}+85x-225 \right )=0$

$\therefore \left (2x^{2}+85x-225 \right )=\frac{0}{2}=0$

এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ। (Answer)

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ :- কষে দেখি - ১.১