লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু

কষে দেখি : - ১৬

Q১. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি.। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 15 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা (l) = 24 সেমি.।

ধরি, শঙ্কুটির উচ্চতা = h মিটার।

∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল

= πrl

$=\pi \times 15\times 24$ বর্গ সেমি

= 360π বর্গ সেমি ।

ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= πr (r + l)

$=\pi \times 15\times \left ( 15+24 \right )$ বর্গ সেমি

= 585π বর্গ সেমি

উত্তরঃ নির্ণেয় লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 360π বর্গ সেমি ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 585π বর্গ সেমি।

Q২. শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন,

(i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার,

(ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার।

সমাধানঃ

(i) ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = r মিটার।

প্রদত্ত,

শঙ্কুর ভূমির ক্ষেত্রফল $\left (\pi r^{2} \right )=1.54$ বর্গ মিটার এবং উচ্চতা (h ) = 2.4 মিটার,

∴ শঙ্কুটির আয়তন

$=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=\frac{1}{3}\times 1.54\times 2.4$

$=1.54\times 0.8$

= 1.232 ঘন মিটার।

(ii)

প্রদত্ত,

শঙ্কুর ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 21 মিটার

∴ শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $\left ( r \right )=\frac{21}{2}=10.5$ মিটার এবং তির্যক উচ্চতা (l) = 17.5 মিটার।

ধরি, শঙ্কুটির উচ্চতা = h মিটার।

আমরা জানি,

$l^{2}=r^{2}+h^{2}$

বা, $h^{2}=l^{2}-r^{2}$

বা, $h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}$

বা, $h=\sqrt{\left ( 17.5 \right )^{2}-\left ( 10.5 \right )^{2}}$

বা, $h=\sqrt{\left ( 17.5+10.5 \right )\left ( 17.5-10.5 \right )}$

বা, $h=\sqrt{28\times 7}$

∴ h = 14 মিটার

∴ শঙ্কুটির আয়তন

$=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times \left ( \frac{21}{2} \right )^{2}\times 14$

= 11 × 21 × 7

= 1617 ঘন মিটার।

উত্তরঃ (i) নির্ণেয় শঙ্কুটির আয়তন 1.232 ঘন মিটার।

(ii) নির্ণেয় শঙ্কুটির আয়তন 1617 ঘন মিটার।

Q৩. আমিনা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 15 সেমি. ও 20 সেমি.। 15 সেমি. দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয় তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

আমিনার অঙ্কিত সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 15 সেমি. ও 20 সেমি.।

∴ ত্রিভুজটির অতিভুজ $=\sqrt{\left ( 15 \right )^{2}+\left ( 20 \right )^{2}}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$ সেমি.।

15 সেমি. দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে তা একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আকার ধারণ করবে।

শঙ্কুটির উচ্চতা (h ) = 15 সেমি.

ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 20 সেমি.

এবং তির্যক উচ্চতা (l) = 25 সেমি.।

∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল

= πrl

$=\pi \times 20\times 25$ বর্গ সেমি.

= 500π বর্গ সেমি. ।

ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= πr (r + l)

$=\pi \times 20\times \left ( 20+25 \right )$ বর্গ সেমি.

= 900π বর্গ সেমি.

∴ শঙ্কুটির আয়তন

$=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=\frac{1}{3}\times \pi \times \left ( 20 \right )^{2}\times 15$

= 20 × 20 × 5 × π

= 2000 ঘন সেমি.।

উত্তরঃ নির্ণেয় লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 500π বর্গ সেমি. ,শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 900π বর্গ সেমি ও আয়তন 2000π ঘন সেমি।

Q৪. কোন শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা যথাক্রমে 6 সেমি. ও 10 সেমি. হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 6 সেমি. ও তির্যক উচ্চতা (l) = 10 সেমি.

ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = r সেমি।

আমরা জানি,

$l^{2}=r^{2}+h^{2}$

বা, $r^{2}=l^{2}-h^{2}$

বা, $r=\sqrt{l^{2}-h^{2}}$

বা, $r=\sqrt{\left ( 10 \right )^{2}-\left ( 6 \right )^{2}}$

বা, $r=\sqrt{\left ( 10+6 \right )\left ( 10-6 \right )}$

বা, $r=\sqrt{16\times 4}$

∴ r = 8 সেমি.

∴ শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= πr (r + l)

$=\pi \times 8\times \left ( 8+10 \right )$ বর্গ সেমি

= 144π বর্গ সেমি.

∴ শঙ্কুটির আয়তন

$=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=\frac{1}{3}\times \pi \times \left ( 8 \right )^{2}\times 6$

= 64 × 2 × π

= 128π ঘন সেমি.।

উত্তরঃ নির্ণেয় শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 144π বর্গ সেমিও আয়তন 128π ঘন সেমি।

Q৫. কোন লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $\left ( 100\pi \right )$ ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 12 সেমি. হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা = l সেমি. ও ব্যাসার্ধ =r সেমি. ।

প্রদত্ত,

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 100π ঘন সেমি. এবং উচ্চতা (h) = 12 সেমি.

প্রশ্নানুসারে

$\frac{1}{3}\pi r^{2}h=100\pi$

বা, $\frac{1}{3}\times r^{2}\times 12=100$

বা, $4r^{2}=100$

বা, $r^{2}=\frac{100}{4}=25$

বা, $r=\pm \sqrt{25}$

$\therefore r=\pm 5$

ব্যাসার্ধ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই r = 5

আমরা জানি,

$l^{2}=r^{2}+h^{2}$

বা, $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

বা, $l=\sqrt{\left ( 5 \right )^{2}+\left ( 12 \right )^{2}}$

বা, $l=\sqrt{25+144}$

বা, $l=\sqrt{169}$

∴ l = 13 সেমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা 13 সেমি.।

Q৬. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গমিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, তাঁবুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = r মিটার।

প্রদত্ত,

তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা (l ) =7 মিটার ও পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = 77 বর্গমিটার।

প্রশ্নানুসারে,

πrl = 77

বা, $\frac{22}{7}\times r\times 7=77$

বা, $r=\frac{77}{22}$

$\therefore r=\frac{7}{2}$ মিটার

∴ তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল

$=\pi r^{2}$

$=\frac{22}{7}\times \left ( \frac{7}{2} \right )^{2}$

$=\frac{22}{7}\times \frac{7}{2}\times \frac{7}{2}$

$=\frac{77}{2}$

= 38.5 বর্গমিটার

উত্তরঃ নির্ণেয় তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গমিটার ।

Q৭. একটি শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার

∴ ব্যাসার্ধ $\left ( r \right )=\frac{21}{2}$ মিটার

এবং উচ্চতা (h) = 14 মিটার।

ধরি, শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা = l মিটার।

আমরা জানি,

$l^{2}=r^{2}+h^{2}$

বা, $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

বা, $l=\sqrt{\left ( \frac{21}{2} \right )^{2}+\left ( 14 \right )^{2}}$

বা, $l=\sqrt{\frac{441}{4}+196}$

বা, $l=\sqrt{\frac{441+784}{4}}$

বা, $l=\sqrt{\frac{1225}{4}}$

∴ l = $\frac{35}{2}$ মিটার

শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল

= πrl

$=\frac{22}{7}\times \frac{21}{2}\times \frac{35}{2}$

$=\frac{1155}{2}$ বর্গমিটার

∴ প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে খরচ পড়বে

$=\frac{1155}{2}\times 1.50$ টাকা

$=1155\times 0.75=866.25$ টাকা

উত্তরঃ নির্ণেয় শঙ্কুটির প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে 866.25 টাকা খরচ পড়বে।

Q৮. শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গ সেমি 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করি। খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি. কাঠ লেগেছে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 10 সেমি.

∴ ব্যাসার্ধ $\left ( r \right )=\frac{10}{2}=5$ সেমি.

ধরি, শঙ্কুটির উচ্চতা = h সেমি. ও তির্যক উচ্চতা = l সেমি.।

শঙ্কুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=\pi rl=\frac{22}{7}\times 5\times l$ বর্গ সেমি

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{22}{7}\times 5\times l=\frac{429}{2.10}$

বা, $l=\frac{429\times 100}{210}\times \frac{7}{22}\times \frac{1}{5}$

∴ l = 13 সেমি.

আমরা জানি,

$l^{2}=r^{2}+h^{2}$

বা, $h^{2}=l^{2}-r^{2}$

বা, $h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}$

বা, $h=\sqrt{\left ( 13 \right )^{2}-\left ( 5 \right )^{2}}$

বা, $h=\sqrt{\left ( 13+5 \right )\left ( 13-5 \right )}$

বা, $h=\sqrt{18\times 8}$

∴ h = 12 সেমি.

শঙ্কুটির আয়তন

$=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=\frac{1}{3}\times \pi \times \left ( 5 \right )^{2}\times 12$

= 100π ঘন সেমি.।

উত্তরঃ নির্ণেয় খেলনাটির উচ্চতা 12 সেমি. এবং খেলনাটি তৈরি করতে 100π ঘন সেমি. কাঠ লেগেছে।

Q৯. লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে $75\frac{3}{7}$ বর্গ মিটার লোহার পাত লেগেছে। বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি 5 মিটার হয়, তবে বয়াটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, শঙ্কু আকৃতির লোহার পাতের বয়াটির উচ্চতা = h মিটার ও ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = r মিটার।

প্রদত্ত, বয়াটির তির্যক উচ্চতা (l) = 5 মিটার।

বয়াটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

$\pi r\left ( r+l \right )=75\frac{3}{7}$

বা, $\frac{22}{7}\times r\left ( r+5 \right )=\frac{528}{7}$

বা, $r^{2}+5r=\frac{528\times 7}{22\times 7}$

বা, $r^{2}+5r=24$

বা, $r^{2}+5r-24=0$

বা, $r^{2}+8r-3r-24=0$

বা, $r\left ( r+8 \right )-3\left ( r+8 \right )=0$

বা, $\left ( r+8 \right )\left ( r-3 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুনফল শূন্য হলে, তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

অর্থাৎ,

হয়

r + 8 = 0

বা, r = -8

অথবা,

r - 3 = 0

বা, r = 3

ব্যাসার্ধের মান ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $r\neq 8$

∴ শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r = 3 মিটার।

আমরা জানি,

$l^{2}=r^{2}+h^{2}$

বা, $h^{2}=l^{2}-r^{2}$

বা, $h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}$

বা, $h=\sqrt{\left ( 5 \right )^{2}-\left ( 3 \right )^{2}}$

বা, $h=\sqrt{\left ( 5+3 \right )\left ( 5-3 \right )}$

বা, $h=\sqrt{8\times 2}$

∴ h = 4 মিটার

∴ বয়াটির উচ্চতা = 4 মিটার।

বয়াটিতে উপস্থিত বায়ুর পরিমান

= বয়াটির আয়তন

$=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times \left ( 3 \right )^{2}\times 4$

$=\frac{264}{7}$

$=37\frac{5}{7}$ ঘন মিটার

উত্তরঃ নির্ণেয় বয়াটির উচ্চতা 4 মিটার ও বয়াটিতে ${\color{DarkGreen} 37\frac{5}{7}}$ ঘনমিটার বায়ু আছে।

Q১০. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গমিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা h মিটার।

প্রদত্ত,শঙ্কু আকৃতির তাঁবুতে থাকে 11 জন লোক এবং প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে জায়গা লাগে 4 বর্গমিটার এবং 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়োজন।

∴ শঙ্কু আকৃতির তাঁবুটির ভূমির ক্ষেত্রফল $\left ( \pi r^{2} \right )$ = 4 × 11 বর্গ মিটার = 44 বর্গ মিটার।

ও আয়তন $\left ( \frac{1}{3}\pi r^{2}h \right )$ = 20 × 11 ঘন মিটার = 220 ঘন মিটার।

$\therefore \frac{1}{3}\pi r^{2}h =220$

বা, $\frac{1}{3}\times 44\times h=220$ ${\color{Blue} \left [\because \pi r^{2}=44 \right ]}$

বা, $h=\frac{220\times 3}{44}$

∴ h = 15 মিটার

উত্তরঃ নির্ণেয় 1 জন লোকের জন্য নির্মিত শঙ্কু আকৃতির তাঁবুর উচ্চতা 15 মিটার।

Q১১. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত, শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.।

∴ ব্যাসার্ধ $\left ( r \right )=\frac{21}{2}$ সেমি. = 10.5 সেমি.

এবং টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে।

ধরি, টোপরটির উচ্চতা = h সেমি. ও তির্যক উচ্চতা = l সেমি.।

টোপরের বাইরের দিকের ক্ষেত্রফল $=\pi rl=\frac{22}{7}\times \frac{21}{2}\times l=33l$ বর্গ সেমি.

টোপরটির প্রতি বর্গ সেমি রাংতা দিয়ে মুড়তে 10 পয়সা হিসাবে মোট খরচ পড়ে $=33l\times 0.10=3.3l$ টাকা।

[ ${\color{Blue} \because 10}$ পয়সা ${\color{Blue} =\frac{10}{100}}$ টাকা = 0.10 টাকা ]

প্রশ্নানুসারে,

3.3l = 57.75

বা, $l=\frac{57.75}{3.3}$

∴ l = 17.5 সেমি.

আমরা জানি,

$l^{2}=r^{2}+h^{2}$

বা, $h^{2}=l^{2}-r^{2}$

বা, $h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}$

বা, $h=\sqrt{\left ( 17.5 \right )^{2}-\left ( 10.5 \right )^{2}}$

বা, $h=\sqrt{\left ( 17.5+10.5 \right )\left ( 17.5-10.5 \right )}$

বা, $h=\sqrt{28\times 7}$

∴ h = 14 সেমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় টোপটির উচ্চতা 14 সেমি. ও তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি.।

Q১২. গমের একটি স্থূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5 মিটার। মোট গমের আয়তন নির্ণয় করি। গমের ওই স্তুপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গমিটার প্লাসটিক চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি।

[ ধরি, $\pi =3.14,\sqrt{130}=11.4$ ]

সমাধানঃ

প্রদত্ত, শঙ্কুর ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার।

∴ ব্যাসার্ধ $\left ( r \right )=\frac{9}{2}=4.5$ মিটার

এবং উচ্চতা (h) = 3.5 মিটার।

ধরি, তির্যক উচ্চতা = l মিটার।

∴ গমের স্থূপের আয়তন

$=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=\frac{1}{3}\times 3.14 \times \left ( \frac{9}{2} \right )^{2}\times 3.5$

$=\frac{1}{3}\times \frac{314}{100}\times \frac{9}{2} \times \frac{9}{2}\times \frac{35}{10}$

$=\frac{297}{4}$

= 74.1825 ঘন মিটার।

আমরা জানি,

$l^{2}=r^{2}+h^{2}$

বা, $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

বা, $l=\sqrt{\left ( \frac{9}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{7}{2} \right )^{2}} {\color{Blue} \left [ \because 3.5=\frac{35}{10}=\frac{7}{2} \right ]}$

বা, $l=\sqrt{\frac{81}{4}+\frac{49}{4}}$

বা, $l=\sqrt{\frac{81+49}{4}}$

বা, $l=\sqrt{\frac{130}{4}}$

বা, $l=\frac{1}{2}\times \sqrt{130}$

$\therefore l=\frac{1}{2}\times 11.4=5.7$ মিটার

শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল

= πrl

$=3.14\times \frac{9}{2}\times 5.7$

= 80.541 বর্গমিটার।

উত্তরঃ নির্ণেয় মোট গমের আয়তন 74.1825 ঘন মিটার এবং গমের ওই স্তুপ ঢাকতে কমপক্ষে 80.541 বর্গমিটার প্লাসটিক চাদর প্রয়োজন হবে।

Q১৩. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 15 সেমি. এবং ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি. হলে, শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল

(a) $60\pi$ বর্গ সেমি.

(b) $68\pi$ বর্গ সেমি.

(d) $130\pi$ বর্গ সেমি.

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 16 সেমি.

∴ ব্যাসার্ধ $\left ( r \right )=\frac{16}{2}=8$ সেমি.

এবং তির্যক উচ্চতা (l) = 15 সেমি.

∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল

= πrl

$=\pi \times 8\times 15$

= $120\pi$

উত্তরঃ (c) ${\color{DarkGreen} 120\pi}$ বর্গ সেমি.

(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1 : 4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4 : 5 হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত

(a) 1 : 5

(b) 5 : 4

(d) 25 : 64

সমাধানঃ

ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুদুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4r ও 5r একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে h1 ও h2

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{1}{3}\pi\times \left ( 4r \right )^{2}\times h_{1}:\frac{1}{3}\pi\times \left ( 5r \right )^{2}\times h_{2}=1:4$

বা, $16r^{2}h_{1}:25r^{2}h_{2}=1:4$

বা, $\frac{16h_{1}}{25h_{2}}=\frac{1}{4}$

বা, $\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{25}{64}$

h1 : h2 = 25 : 64

উত্তরঃ (d) 25 : 64

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুণ করলে, শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পায়

(a) 100%

(b) 200%

(d) 400%

সমাধানঃ

শঙ্কুটির পূর্বের আয়তন $=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক।

শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুণ করলে,

শঙ্কুটির বর্তমান আয়তন $=\frac{1}{3}\pi r^{2}\left (2h \right )=\frac{2}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক।

শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পায় $=\frac{2}{3}\pi r^{2}h-\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক।

∴ শঙ্কুটির আয়তন শতকরা বৃদ্ধি পায়

$=\frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}h}{\frac{1}{3}\pi r^{2}h}\times 100$

= 100 %

উত্তরঃ (a) 100%

(iv) একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে, শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের

(a) 3 গুণ

(b) 4 গুণ

(d) 8 গুণ

সমাধানঃ

ধরি, শঙ্কুটির পূর্বের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক।

∴ শঙ্কুটির পূর্বের আয়তন $=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক।

এখন শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে,

শঙ্কুটির বর্তমান আয়তন $=\frac{1}{3}\times \pi\times \left (2r \right )^{2}\times \left (2h \right )=\frac{8}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক।

শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পেয়েছে $=8\times \frac{1}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক = 8 × পূর্বের আয়তন।

উত্তরঃ (d) 8 গুণ

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $\frac{r}{2}$ একক এবং তির্যক উচ্চতা $2l$ একক হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

(a) $2\pi r\left ( l+r \right )$ বর্গ একক

(b) $\pi r\left ( l+\frac{r}{4} \right )$ বর্গ একক

(d) $2\pi rl$ বর্গ একক

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (R) = $\frac{r}{2}$ একক এবং তির্যক উচ্চতা (L) = $2l$ একক

∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= πR (R + L)

$=\pi \times \frac{r}{2} \times \left ( \frac{r}{2}+2l \right )$ বর্গ একক

$=\pi \times r \times \left (\frac{1}{2}\times \frac{r}{2}+\frac{1}{2}\times 2l \right )$ বর্গ একক

$=\pi r\left ( \frac{r}{4}+l \right )$ বর্গ একক

উত্তরঃ (b) ${\color{DarkGreen} \pi r\left ( l+\frac{r}{4} \right )}$ বর্গ একক

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে।

সমাধানঃ

শঙ্কুটির পূর্বের আয়তন $=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক।

শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করলে,

শঙ্কুটির বর্তমান আয়তন হয় $=\frac{1}{3}\times \pi\times \left (\frac{r}{2} \right )^{2}\times \left (2h \right )=\frac{1}{6}\pi r^{2}h$ ঘন একক।

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা।

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।

সমাধানঃ

উত্তরঃ বিবৃতিটি সত্য।

(i) ABC সমকোণী ত্রিভুজের AC অতিভুজ। AB বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার ব্যাসার্ধ ________।

সমাধানঃ

উত্তরঃ BC

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $V$ ঘন একক এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক হলে, উচ্চতা __________।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $V$ ঘন একক এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক।

প্রশ্নানুসারে,

$A=\pi r^{2}$ [ যেখানে r = শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ ]

এবং

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ [ধরি, h = উচ্চতা ]

বা, $3V=Ah{\color{Blue} \left [\because A=\pi r^{2} \right ]}$

$\therefore h=\frac{3V}{A}$ একক

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} \frac{3V}{A}}$ একক

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের উচ্চতা সমান। তাদের আয়তনের অনুপাত _________ ।

সমাধানঃ

ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উভয়ের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r একক ও উচ্চতা = h একক।

∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন $=\pi r^{2}h$ ঘন একক

এবং

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক।

∴ চোঙ ও শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত

$=\pi r^{2}h:\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=1:\frac{1}{3}$

$=1\times 3:\frac{1}{3}\times 3$

= 3 : 1

উত্তরঃ 3 : 1

Q১৪. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি. এবং আয়তন $100\pi$ ঘন সেমি.। শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r একক।

প্রদত্ত, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 12 সেমি. এবং আয়তন $100\pi$ ঘন সেমি.।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{1}{3}\pi r^{2}h=100\pi$

বা, $r^{2}\times 12=300$

বা, $r^{2}=\frac{300}{12}=25$

$\therefore r=\pm \sqrt{25}=\pm 5$

ব্যাসার্ধ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই r = 5

উত্তরঃ শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 একক।

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমিতলের ক্ষেত্রফলের $\sqrt{5}$ গুণ। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r একক ও উচ্চতা = h একক।

∴ শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গ একক ও ভূমিতলের ক্ষেত্রফল $=\pi r^{2}$ বর্গ একক ।

প্রশ্নানুসারে,

$\pi rl=\sqrt{5}\pi r^{2}$

$\therefore l=\sqrt{5}r$

আমরা জানি,

$l^{2}=r^{2}+h^{2}$

বা, $h^{2}=l^{2}-r^{2}$

বা, $h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}$

বা, $h=\sqrt{\left ( \sqrt{5r} \right )^{2}+r^{2}}$

বা, $h=\sqrt{6r^{2}}$

বা, $h=\sqrt{6}r$

বা, $\frac{h}{r}=\frac{\sqrt{6}}{1}$

$\therefore h:r=\sqrt{6}:1$

উত্তরঃ নির্ণেয় শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত ${\color{DarkGreen} \sqrt{6}:1}$

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $V$ ঘন একক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং উচ্চতা H একক হলে, $\frac{AH}{V}$ এর মান কত তা লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r একক।

প্রদত্ত,

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $\left ( \frac{1}{3}\pi r^{2}H \right )=V$ ঘন একক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল $\left ( \pi r^{2} \right )=A$ বর্গ একক এবং উচ্চতা H একক।

∴ $\frac{AH}{V}$ এর মান

$=\frac{\pi r^{2}\times H}{\frac{1}{3}\pi r^{2}H}$

$=\frac{1}{\frac{1}{3}}$

$=1\times \frac{3}{1}$

= 3

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} \frac{AH}{V}}$ এর মান 3

(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন এবং পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। শঙ্কুটির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে h একক এবং r একক হলে, $\frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{r^{2}}$ এর মান কত তা লিখি।

সমাধানঃ

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক ও পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গ একক।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\pi rl$

বা, $rh=3l$

বা, $rh=3\sqrt{r^{2}+h^{2}} {\color{Blue} \left [ \because l=\sqrt{r^{2}+h^{2}} \right ]}$

বা, $\left (rh \right )^{2}=\left (3\sqrt{r^{2}+h^{2}} \right )^{2}$ [ উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ]

বা, $r^{2}h^{2}=9\left (r^{2}+h^{2} \right )$

বা, $\frac{1}{9}=\frac{r^{2}+h^{2}}{r^{2}h^{2}}$

বা, $\frac{1}{9}=\frac{r^{2}}{r^{2}h^{2}}+\frac{h^{2}}{r^{2}h^{2}}$

$\therefore \frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{r^{2}}=\frac{1}{9}$

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} \frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{r^{2}}}$ এর মান ${\color{DarkGreen} \frac{1}{9}}$

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 2 : 3 ; চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3R একক ও 4R একক এবং তাদের উচ্চতা যথাক্রমে 2H একক ও 3H একক।

∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন : লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন

$=\pi r^{2}h$ : $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$=\pi \times \left ( 3R \right )^{2}\times 2H:\frac{1}{3}\times \pi \times \left ( 4R \right )^{2}\times 3H$

$=18R^{2}H:16R^{2}H$

= 9 : 8

উত্তরঃ নির্ণেয় লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 9 : 8

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু